Konvergenzradius einer Potenzreihe

02.01.2011, 19:52

Claudia1234

Konvergenzradius einer Potenzreihe

Hallo,

ich soll den Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^{n} (x-5)^{n^{2} } \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Bei der Lösung soll der Satz von Hadamard (Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{lim.sup.n-te\sqrt{a_{n} } } \end{eqnarray*}$ ) verwendet werden.

Warum ziehe ich bei dieser Potenzreihe die n²-te Wurzel statt der n-ten Wurzel bei der Formel. Offensichltlich wegen $\begin{eqnarray*} (x-5)^{n^{2} } \end{eqnarray*}$ , aber warum ist das richtig? Herleitung der Formel?

Ich danke Euch!

02.01.2011, 20:33

René Gruber

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Zitat:

Original von Claudia1234
Warum ziehe ich bei dieser Potenzreihe die n²-te Wurzel statt der n-ten Wurzel bei der Formel. Offensichltlich wegen $\begin{eqnarray*} (x-5)^{n^{2} } \end{eqnarray*}$ , aber warum ist das richtig?

Das ist keine Frage von "richtig" oder "falsch", die Reihe ist nun mal vom Aufgabensteller so vorgegeben. Das bedeutet, dass es eine Potenzreihe ist, wo das Glied $\begin{eqnarray*} (x-5)^k \end{eqnarray*}$ nur dann einen von Null verschiedenen Koeffizienten hat, wenn der Exponent $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist. Das musst du beachten, wenn du Cauchy-Hadamard dann anwenden willst.

04.01.2011, 13:47

Claudia1234

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Okay. Wenn ich jetzt die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{z^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ (also die Potenzreihe, die als cos(z) definiert ist) betrachte und den Kovergenzradius mit Cauchy-Hadamard berechnen möchte, lautet die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{limsup.^{2n} \sqrt{ |\frac{(-1)^n}{(2n)!} } |} \end{eqnarray*}$ Ist das korrekt?

Da ich den Grenzwert nicht berechnen kann, habe ich es mit dem Quotientenkriterium versucht.

Nach Umformungen bin ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{z}{(2n+2)(2n+1)} \end{eqnarray*}$ gekommen. Für n gegen unendlich ist der Limes = 0 für alle z und somit ist die Potenzreihe für alle z absolut konvergent.

Der Konvergenzradius ist also unendlich.

Korrekt?

05.01.2011, 15:51

Claudia1234

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Kann mir jemand sagen, ob die Formel (2n-te Wurzel) mit Limes Superior so stimmt und wie ich das Auflönsen kann?

Stimmt der Ansatz/das Ergebnis mit dem Quotientenkriterium?

06.01.2011, 14:15

Claudia1234

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Keiner?

06.01.2011, 14:23

klarsoweit

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Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{z^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ würde man eher z² = x setzen. Dann kann man Cauchy-Hadamard anwenden, wobei das mit der n-ten Wurzel wegen der Fakultät ziemlich unangenehm ist. Besser geht da die andere Formel mit dem Quotienten. Siehe auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

06.01.2011, 15:21

Claudia1234

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Zitat:

Original von klarsoweit
Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{z^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ würde man eher z² = x setzen. Dann kann man Cauchy-Hadamard anwenden.

Was meinst du konkret mit "für z²=x" setzen? Wie lautet dann die Formel von Cauchy-Hadamard?

Liebe Grüße

06.01.2011, 15:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Claudia1234
Wie lautet dann die Formel von Cauchy-Hadamard?

Die findest du auf dem Wiki-Link. Die Formel gilt aber nur für Potenzreihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \cdot (x - x_0)^n \end{eqnarray*}$ . Wenn man diese Form nicht hat, muß man eben auf diese Form kommen, sonst kann man sie nicht anwenden.

Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{z^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ führt die Substituion z² = x zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ .

06.01.2011, 15:45

Claudia1234

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Okay. Für diese substituierte Form ist dann die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{limsup^{n} \sqrt{ |\frac{(-1)^n}{(2n)!} } |} \end{eqnarray*}$ .

Angenommen ich könnte den Limes Superior bestimmen und es käme raus Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^n}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ ist 3,5. Ist dann auch der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{z^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ 3,5?

06.01.2011, 15:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Claudia1234
Okay. Für diese substituierte Form ist dann die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{limsup^{n} \sqrt{ |\frac{(-1)^n}{(2n)!} } |} \end{eqnarray*}$ .

Nun ja. Ich sagte schon mal, daß es besser ist, die 2. Variante der Formel zu verwenden.

Zitat:

Original von Claudia1234
Ist dann auch der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{z^{2n} }{(2n)!} \end{eqnarray*}$ 3,5?

Natürlich nicht. Wegen z² = x wäre der Konvergenzradius dieser Reihe die Wurzel aus 3,5. smile

06.01.2011, 16:13

Claudia1234

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Sorry, ich hatte das oben mit der anderen Formel falsch aufgefasst.

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n} }{a_{n+1}| } \end{eqnarray*}$ darf man nur verwenden, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \exists n_{0}\forall n\geq n_{0}: a_{n} =|=0 \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, ist nicht schlimm oder? (Wohl dumme Frage, da $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ Nullfolge sein muss, damit die Reihe konvergent sein kann.)

Außerdem muss obiger Grenzwert existerien. Auf die Gefahr hin mit dummen Fragen um mich zu werfen: Heißt existieren, dass der Grenzwert eine konkrete Zahl sein muss oder ist zB $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (wie hier) auch in Ordnung?

07.01.2011, 08:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Claudia1234
Dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, ist nicht schlimm oder?

Nein, sie muß nur für fast alle n ungleich Null sein.

Zitat:

Original von Claudia1234
Heißt existieren, dass der Grenzwert eine konkrete Zahl sein muss oder ist zB $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (wie hier) auch in Ordnung?

Existieren heißt zunächst, daß der Grenzwert eine endliche Zahl sein muß.

Sollte $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$ nach unendlich divergieren, dann ist der Konvergenzradius unendlich.

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