Taylorpolynom

02.01.2011, 20:37

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

Taylorpolynom

Hallo,
Habbe folgende Aufgabe:
a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3.grades für die tangensfkt. im entwicklungspunkt a=0
b) bestimmen sie das taylorpolynom 2.grades für die fkt, f:x-->log(1-x) im entwicklungsounkt a=0.berechnen sie damit eine näherung für log0.9 , und geben sie eine fehlerabschätzung an
-----

für a)
musste ich erst einmal die ableitungen ausrechnen. dann in die ableitungen 0 einsetzen.
dann hab ich
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=2

aber wie gehts weiter?

habe im i-net folgendes gefunden:

T3, f(x)= Summe von m=0 bis3 f^(m) (0) / m! *x^m

was genau ist mein x? ist das der gegeb. entwicklungspunkt?

wenn ich jetzt m=0 bis m=3 durchgehe erhalte ich

x+1/3x³ ist das jetzt das gesuchte polynom?

02.01.2011, 20:39

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Da dein Entwicklungspunkt Null ist, ist dein x gleich x-0, die Null fällt also unter den
Tisch.

$\begin{eqnarray*} <br /> T_3=x+\frac{2x^3}{ 3!}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Das stimmt mit deiner Lösung überein

02.01.2011, 20:49

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
kannst du mir noch mal erklären, ob die taylorfkt. immer so aussieht allg. oder man da irgendwie anders drauf kommt?

und wie ist es besser aufzuschreiben, als T3= x+ 2x³/3! oder meine angabe als x+1/3x³ ?

kannst du mir bei b) auch helfen?
muss ich da jetzt wieder log(1-x) ableiten?

02.01.2011, 20:53

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Die Taylorfunktion sieht eigentlich immer so, ist eben nur vom Entwicklungspunkt
a abhängig. So gelangt man zur Taylorformel:

$\begin{eqnarray*} <br /> T_n=f(a)+\frac{f'(a)(x-a)}{ 1!}+\frac{f''(a)(x-a)^2}{ 2!}+\ldots+\frac{f^n(x-a)^n}{ n!}<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn du das Taylorpolynom dieser Funktion bestimmen sollst, musst du diese
differenzieren.

Das mit den Schreibweisen ist Geschmackssache, mach wie dirs gefällt.

02.01.2011, 21:12

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Irgendwie komm ichdurcheinander beim ableiten.

f(x)=log(1-x)
f'(x)= - 1/1-x
f''(x)= -x/ 1-2x+x²

ist das korrekt oder hat sich ein fehler eingeschlichen?

02.01.2011, 21:24

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Die erste Ableitung stimmt, aber bei der 2. solltest du nachrechnen.

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\ln(1-x)<br /> f'(x)=\frac{ - 1}{1-x}<br /> \end{eqnarray*}$

Anzeige

02.01.2011, 21:29

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
bei der 2. abl. hab ich jetzt raus:

f''(x)= -1/(1-x)² raus

02.01.2011, 21:32

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Ja jetzt stimmts.

02.01.2011, 21:44

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
toll, jetzt setz ich wieder in die funktionen 0 ein und erhalte
f(0)=0
f'(0)=-1
f''(0)=-1

daher das taylorpolynom
T2=-x-1/2 x²

und für die näherung von log 0,9?
setze ich jetzt für x=0,9 ein oder 0,1 wg. log(1-x)?
wenn ich 0,1=x einsetze in T2(0,1)= -0,105
ist das jetzt meine näherung? und wie wird jetzt der fehler abgeschätzt?

02.01.2011, 21:50

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Dein Taylorpolynom stellt die Näherung dar, in diese setzt du für x den Wert 0,9
ein. Das vergleichst du mit der Ausgangsfunktion und kannst den relativen Fehler
angeben.

Die Fehlerabschätzung des Taylorpolynoms kann man mit Integrieren oder per
Lagranscher fehlerabschätzung durchführen. Welche habt ihr in der Vorlesung
behandelt?

02.01.2011, 21:58

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
kannst du mir sagen wieso ich für x=0,9 einsetze?
weil eigentlich hab ich ja das taylorpol. von log(1-x) errechnet und nicht für log(x)
daher würde ich eher x=0,1 einsetzen ins Taylorpolynom.

Zum fehler:
da haben wir sowa shier:

Rn= 1/n!* (x-a)^n *f^(n)(xi) xi €(x,a)

02.01.2011, 22:08

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Stimmt, der Logarithmus wurde um eine Einheit nach rechts verschoben.
Wenn du also ln(0,9) bei deiner Näherungsfunktion, also deinem Taylorpolynom
haben willst musst du der Verschiebung nach rechts entgegenwirken.

$\begin{eqnarray*} \ln(1)=\ln(1-0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(0,9)=\ln(1-0,1) \end{eqnarray*}$

Das löst dein Problem. Deine Restgliedformel ist die Lagransche Darstellung.
Diese sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} <br /> R_n=\frac{f^{n+1}(\epsilon)}{ (n+1)! } (x-a)^{n+1}<br /> \end{eqnarray*}$

02.01.2011, 22:20

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
und wie geh ich weiter vor?

ich hab hier noch diese formel:

Rn=( f^(n+1) (xi) / ((n+1)!) ) *(x-a)^n+1 (erscheint mir einfacher da kein integral)

aber wie geh ich weiter vor?
muss ich jetzt auch für n=2 einsetzen da wir vorher taylor des 2.grades betrachtet haben?

aber dann brauch ich ja noch die 3.ableitung, oder?

und was ist mein x und was mein a und xi?

02.01.2011, 22:25

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Dein a ist der Entwicklungspunkt, der war bei dir 1.
Ja wir benötigen die 3. Ableitung für die Fehlerformel. Dein xi kannst du
wählen.

02.01.2011, 22:26

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
der entwicklungspounkt war laut aufgabenstellung a=0

02.01.2011, 22:28

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Ok, na dann mal weiter.

$\begin{eqnarray*} <br /> f^3(x)=\frac{ -(-1*2(1-x)*-1)}{ (1-x)^4}=\frac{-2}{ (1-x)^3}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> R_n=\frac{f^{n+1}(\epsilon)}{ (n+1)! } (x-a)^{n+1}<br /> \end{eqnarray*}$

Auf dein Beispiel gebracht:

$\begin{eqnarray*} <br /> R_n=\frac{ \frac{-2}{ (1-\epsilon)^3} }{3!} x^3=\frac{-2x^3}{ 3!(1-\epsilon)^3}<br /> \end{eqnarray*}$

02.01.2011, 22:36

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
kann ich xi als 0,05 wählen oder muss das näher am entwicklungspunkt dran sein?
wenn ich xi=0,05 nehme, komme ich beim R2= -3,887835933*10^-4

bin ich dann fertig?

also wenn ich 0,1 in mein taylor.pol. 2. grades einsetze komm ich auf -0,105

der log 0,9 ist laut. Taschenrechner ca. -0,0457574

heißt das im allg. taylorpol. + restglied = eigentl. wert ?

02.01.2011, 22:41

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom

Zitat:

heißt das im allg. taylorpol. + restglied = eigentl. wert ?

Ja genau das heißt es. Doch um den Fehler mittels Lagranscher Restgliedformel
abzuschätzen musst du $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ so wählen das der Ausdruck maximal wird.

Dann kannst du den Fehler abschätzen und bist fertig.

02.01.2011, 22:42

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
$\begin{eqnarray*} <br /> R_n=\frac{ \frac{-2}{ (1-\epsilon)^3} }{3!} x^3=\frac{x^3}{ 3!(1-\epsilon)^3}<br /> \end{eqnarray*}$ [/quote]

wie wähle ich xi am besten?
ist x wieder 0,1?

02.01.2011, 22:49

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Es geht uns nur um \epsilon. Wie müssen wir dieses wählen, es steht im Nenner damit
der Ausdruck maximal wird. Zur Verdeutlichung gebe ich dir noch einen Plot.

02.01.2011, 22:52

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
muss ich xi bzw. epsilon dann sehr nah an der 0 ansetzen?

irgendwie weiß ich nicht, wie mir die zeichnung helfen soll.

02.01.2011, 22:55

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
bleibt x als variable oder ist das wieder 0,1?
komm leider nicht weiter.

03.01.2011, 10:35

Rio22

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorpolynom
Wie wähle ich xi nun am besten? ich bin leider immer noch nicht auf eine Lösung gekommen. Lasse ich x als variable stehen oder ist das wieder 0,1?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »