Verständnisproblem Vektorenaufgabe

03.01.2011, 08:51

Voluptas

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Verständnisproblem Vektorenaufgabe

Hallo zusammen

Mein Problem:

Aufgabe
in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ betrachtet man das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} < v, w> = (v^{T} \cdot A^{T}) \cdot (A \cdot w) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ zwei Spaltenvektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0.6 & 0.8 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -0.8 & 0.6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} ||v||;||w|| \end{eqnarray*}$ und Winkel(Latexbefehl?) $\begin{eqnarray*} (v;w) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}\sqrt{2} \\ 1\\-1 \end{pmatrix} ; w= \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2}\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Orthonormalisieren Sie die Basis $\begin{eqnarray*} {v_{1}; v_{2}; v_{3}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} ; v_{2}=\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} ; v_{3}=\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Frage
Ist es richtig, dass die Informationen vor den Aufgaben nicht verrechnet werden? Beziehungsweise keine Werte von ihnen für die Aufgaben benötigt werden?

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 09:36

lgrizu

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RE: Verständnisproblem Vektorenaufgabe

Zitat:

Original von Voluptas

Ist es richtig, dass die Informationen vor den Aufgaben nicht verrechnet werden? Beziehungsweise keine Werte von ihnen für die Aufgaben benötigt werden?

Wie darf diese Frage verstanden werden, von welchen Informationen sprichst du?

Du hast ein Skalarprodukt definiert, nun sollst du unter Zuhilfenahme dieses Skalarproduktes Beträge und Winkel ausrechnen und eine gegebene Basis orthonormalisieren.

03.01.2011, 09:59

Voluptas

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Wozu brauche ich denn das Skalarprodukt? Ich rechne doch die Aufgaben ohne das Skalarprodukt? (Oder ist das falsch?).

Meiner Meinung nach dient der erste Satz doch bloss dazu, dass man annehmen darf, dass die beiden Vektoren ... nunja, verrechnet werden können.

Mit Informationen meinte ich die Angaben vor der Aufgabe a).

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 10:03

lgrizu

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Habt ihr die Norm eines Vektors nicht definiert als:

$\begin{eqnarray*} ||v||^2=<v,v> \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2011, 10:26

Voluptas

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RE: Verständnisproblem Vektorenaufgabe
Doch, klar. Aber dann brauche ich doch das nicht:

Zitat:

Original von Voluptas

Aufgabe
in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ betrachtet man das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} < v, w> = (v^{T} \cdot A^{T}) \cdot (A \cdot w) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ zwei Spaltenvektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0.6 & 0.8 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -0.8 & 0.6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[...]

Ich verstehe nicht, was diese Angabe bei der Aufgabe zu bedeuten hat.

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 14:09

lgrizu

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RE: Verständnisproblem Vektorenaufgabe
Ich verstehe deine Frage nicht, natürlich benötigst du die Infos, denn über die Matrix A ist ein Skalarprodukt definiert.

Die Norm wiederum ist definiert über das Skalarprodukt, wie willst du die Aufgabe denn ohne diese Informationen lösen?

Welche Norm, bzw. welches Skalarprodukt möchtest du denn sonst verwenden?

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03.01.2011, 19:13

Voluptas

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Also ich habe Aufgabe a) folgendermassen gelöst:

$\begin{eqnarray*} ||\vec v|| = \sqrt{2+1+1} = \sqrt{4}=\underline{\underline{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\vec w|| = \sqrt{1+2+1} = \sqrt{4}=\underline{\underline{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \angle(v;w) = arccos ( \frac{\vec v\cdot \vec w}{\|\vec v \|\|\vec w\|}) \cdot \frac{1}{\pi} \cdot 180° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \angle(v;w) = arccos ( \frac{\sqrt{2}\cdot 1 + 1 \cdot -\sqrt{2} + (-1)\cdot -1}{2\cdot2})\cdot \frac{1}{\pi} \cdot 180° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \angle(v;w) = arccos(\frac{1}{4}) \cdot \frac{1}{\pi} \cdot 180°= \underline{\underline{75.5225°}} \end{eqnarray*}$

Da brauche ich die Angaben über, unter, und in A doch nicht? Oder darf man dies nicht so lösen?

Auch die zweite Aufgabe b) würde ich ohne die besagten Informationen ausrechnen, hier mein erster Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} w_{1}= \frac{1}{\| v_{1} \|} \cdot v_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_{1}= \frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_{2}=\frac{v_{2} - <v_{2}, w_{1}> \cdot w_{1}}{\sqrt{<v_{2} - <v_{2},w_{1}> \cdot w_{1},v{2} - <v_{2},w_{1}>\cdot w_{1}>}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <v_{2},w_{1}> = (-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \cdot -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{2} - <v_{2},w_{1}> \cdot w_{1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} - (-\frac{1}{3})\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_{2}= \frac{ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}}{\sqrt{(-\frac{2}{3})^{2} + (\frac{4}{3})^{2} + (\frac{2}{3})^{2}}} = \frac{ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}}{\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}}} = \frac{ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}}{\sqrt{\frac{24}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{24}} \cdot \begin{pmatrix} -\frac{2}{3}\\ \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, tut mir leid, dass meine Antwort so lange warten liess. Jedoch hatte ich meine Unterlagen nicht gerade zur Hand und musste erst nach Hause kommen.

Ist meine Frage bezüglich dem Sinn des ersten Satzes jetzt verständlich? Ich bin der Meinung, dass es auch ohne diese Informationen klappt, was das Rechnen anbelangt. Jedoch hoffe ich doch sehr, dass mir jemand eine schnellere und bessere Variante aufzeigen kann, denn die Formel für w3 habe ich noch nicht einmal hingeschrieben und die Fehlerquote bei dem Gram-Schmidt'schen Orthonormalisierungsverfahren ist mir etwas gar hoch. Oder habe ich etwas übersehen, das die ganze Rechnerei einfacher gestaltet?

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 19:27

lgrizu

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Du benutzt aber nun die euklidsche Norm, in der Aufgabe ist nicht erwähnt, dass du das tun sollst.

Es hängt davon ab, wie ihr in der Vorlesung die Norm definiert habt, wenn sie über das Skalarprodukt definiert wurde, dann solltest du auch das Skalarprodukt, das du gegeben hast benutzen und nicht irgendein Skalarprodukt.

03.01.2011, 19:37

Voluptas

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Die euklidsche Form? Bei was benutze ich die denn?
Keine Ahnung, was der Ausdruck bedeuten soll. Wie ginge es denn einfacher? Gibt es eine "elegantere" Lösung?

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 19:48

lgrizu

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Die euklidsche Norm ist die Vektornorm, die folgendermaßen definiert ist:

$\begin{eqnarray*} ||v||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2} \end{eqnarray*}$ , und die hast du angewendet.

Sie liegt dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <v,u>=v_1 \cdot u_1+....+v_n \cdot u_n \end{eqnarray*}$ zugrunde, mit der Definition $\begin{eqnarray*} ||v||^2=<v,v> \end{eqnarray*}$ .

In deiner Aufgabe hast du nun ein Skalarprodukt folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} <u,v>=(v^T \cdot A^T) \cdot (A \cdot u) \end{eqnarray*}$ .

wenn du dann die obige Definition der Norm nimmst (also $\begin{eqnarray*} ||v||^2=<v,v> \end{eqnarray*}$ ) erhälst du folgendes:

$\begin{eqnarray*} ||v||^2=(v^T \cdot A^T) \cdot (A \cdot v) \end{eqnarray*}$ , und das entspricht nicht deiner Lösung, mehr versuche ich nicht, dir die ganze Zeit zu sagen.

03.01.2011, 20:06

Voluptas

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Ohje, das hatten wir bisher noch nie angeschaut.

Also bei den ersten beiden Teilaufgaben von a) so erhalte ich mit der Formel genau dieselbe Lösung. Beim Winkel kann man ja nichts "anders" rechnen? Ich meine, man rechnet ja mit den zwei Beträgen und den Vektoren weiter, nichts mit Skalarprodukt diesmal, oder?

Wie lassen sich denn Rechenschritte beim b) anders machen? Wird es so nicht viel komplizierter?

Langsam krieg ich echt Mühe mit der Aufgabe. Dabei habe ich noch zwei, die genau in die Richtung laufen und ich keine Ahnung davon habe, wie ich sie lösen soll. Ohje.

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 20:16

lgrizu

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Wie hängen denn Winkel und Skalarprodukt bzw. Winkel und Norm zusammen?

...Die Frage hats du dir schon fast selbst beantwortet.

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, ein Skalarprodukt zu definieren, zum Beispiel ist das Integral im Vektorraum der integrierbaren Funktionen ein Skalarprodukt.

Sicherlich sollst du auch bei der Aufgabe b) das oben definierte Skalarprodukt verwenden (warum sollte es sonst vorgegeben sein?).

Und es wird ein wenig rechenaufwendiger, aber nicht wirklich schwerer.

03.01.2011, 20:52

Voluptas

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Ich versteh' gerade nicht so ganz, worauf du hinaus willst.

Aber Winkel, Norm und Skalarprodukt hängen doch so zusammen:

$\begin{eqnarray*} \angle(v;w)%20=%20arccos%20(%20\frac{\vec%20v\cdot%20\vec%20w}{\|\vec%20v%20\|\|\vec%20w\|})%20\cdot%20\frac{1}{\pi}%20\cdot 180° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \angle(v;w)%20=%20arccos%20(%20\frac{\vec%20v\cdot%20\vec%20w}{<v,v>\cdot <w,w>})%20\cdot%20\frac{1}{\pi}%20\cdot 180° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \angle(v;w)%20=%20arccos%20(%20\frac{\vec%20v\cdot%20\vec%20w}{(v^T \cdot A^T) \cdot (A \cdot v)\cdot (w^T \cdot A^T) \cdot (A \cdot w)})%20\cdot%20\frac{1}{\pi}%20\cdot 180° \end{eqnarray*}$

Oder habe ich jetzt etwas missverstanden an der Frage?

Gruss

Voluptas.

03.01.2011, 20:56

lgrizu

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Nein, schon richtig, es ist $\begin{eqnarray*} \cos (\angle (u,v))=\frac{<u,v>}{||u|| \cdot ||v||} \end{eqnarray*}$ .

Nur musst du auch hier das zugrunde liegende Skalarprodukt betrachten und dementsprechend die zugrunde liegende Norm (siehe Definition in der Aufgabenstellung).

Auch beim Orthogonalisieren und beim späteren Normalisieren musst du die in der Aufgabe definierte Norm bzw. Skalarprodukt nehmen, ansonsten würde die Vorgabe keinen Sinn machen.

03.01.2011, 21:07

Voluptas

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Ok, ich werde mich mal an der Aufgabe noch einmal versuchen. Ich denke, dass ich es soweit begriffen habe, was ich zu tun habe, jedoch noch nicht so wirklich ganz, warum und wieso. Gibt es hierzu gute Lektüre? Im Unterricht haben wir nie wirklich Zeit so etwas zu besprechen. Wir haben zwar Papulas "Mathematik für Igenieure und Naturwissenschaftler" besorgen müssen, ich werde aber nicht so recht warm damit.

Ich werde meine komplette Lösung so bald als möglich reinstellen, nur so zur Sicherheit.

Danke für deine grosszügige und geduldige Hilfe!

Gruss

Voluptas.

22.01.2011, 13:51

Voluptas

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So. Ich habe mich noch einmal an die Aufgabe gesetzt und möchte hier meine Vorgehensweise präsentieren. (Ist so etwas überhaupt erwünscht? Ich meine, es werden hier so viele neue Beiträge verfasst, da wird wohl kaum jemand gleich meine Aufgabe finden und anhand derer seine eigenen Probleme lösen wollen?)

Gilt immer:
$\begin{eqnarray*} <v, w> = (v^{T} \cdot A^{T}) \cdot (A \cdot w) \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt wurde wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0.6 & 0.8 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -0.8 & 0.6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix A entspricht der Einheitsmatrix, wenn man sie nach Gauss-Jordan umformt.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn nun für die allgemeine Formel allgemeine Vektoren nimmt, sprich: $\begin{eqnarray*} a_1=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}; a_2=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so kann eine einfachere Formel für die Skalarprodukteberechnung unter dieser Skalarproduktdefinition gefunden werden:

$\begin{eqnarray*} <a_1, a_2> = (a_1^{T} \cdot A^{T}) \cdot (A \cdot a_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1^T= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1^T \cdot A^T = a_1=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cdot a_2 = a_2^T=\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot a_2^T = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}= a\cdot x + b \cdot y + c\cdot z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <a_1,a_2> = ax + by + cz \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass dies vielleicht schon früher hätte auffallen sollen, es war mir in dieser Form aber überhaupt nicht ersichtlich.

Ich hoffe, das stimmt dann auch so?

Gruss

Voluptas.

Dies entspricht dann auch der euklidschen Norm.

22.01.2011, 14:15

lgrizu

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Zitat:

Original von Voluptas
So. Ich habe mich noch einmal an die Aufgabe gesetzt und möchte hier meine Vorgehensweise präsentieren. (Ist so etwas überhaupt erwünscht? Ich meine, es werden hier so viele neue Beiträge verfasst, da wird wohl kaum jemand gleich meine Aufgabe finden und anhand derer seine eigenen Probleme lösen wollen?)

Das ist ohne weiteres vollkommen in Ordnung und auch nützlich, wenn die Lösung der Aufgabe dann gepostet wird.

Das ganze ist aber nicht ganz fehlerfrei:

Zitat:

Original von Voluptas
Gilt immer:
$\begin{eqnarray*} <v, w> = (v^{T} \cdot A^{T}) \cdot (A \cdot w) \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt wurde wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}0.6 & 0.8 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -0.8 & 0.6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt wird doch nicht durch die Matrix definiert sondern durch das hier:

Zitat:

Original von Voluptas
Gilt immer:
$\begin{eqnarray*} <v, w> = (v^{T} \cdot A^{T}) \cdot (A \cdot w) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Voluptas
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot a_2^T = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}= a\cdot x + b \cdot y + c\cdot z \end{eqnarray*}$

Das Produkt ist hier nicht ganz richtig, es ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax & bx & cx \\ ay & by & cy \\ az & bz & cz \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das Produkt, das du errechnen möchtest ist das Produkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =ax+by+cz \end{eqnarray*}$

22.01.2011, 14:31

Voluptas

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Ups, da war ich nicht ganz bei der Sache.

$\begin{eqnarray*} <a_1, a_2> = (a_1^{T} \cdot A^{T}) \cdot (A \cdot a_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1^T= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1^T \cdot A^T = a_1=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cdot a_2 = a_2=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot a_2 = \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= a\cdot x + b \cdot y + c\cdot z \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe, ich habe nicht wieder so einen lästigen Fehler drin.

Wie nennt man denn die Matrix A genau? Gibt's dafür einen Begriff?

Gruss

Voluptas.

22.01.2011, 16:23

lgrizu

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Zitat:

Original von Voluptas

Wie nennt man denn die Matrix A genau? Gibt's dafür einen Begriff?

Uff, du kannst ja Fragen stellen, keine Ahnung ob die überhaupt nen Namen hat.

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