homogene Koordinaten

03.01.2011, 11:28	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
homogene Koordinaten Meine Frage: Hallo, die Aufgabe lautet: Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A=(1,1), B=(3,2) und C=(2,3). Das Dreieck soll um einen Winkel von 60° rotiert werden, wobei das Rotationszentrum im Schwerpunkt des Dreiecks liegt. Beschreiben Sie die Transformation in homogenen Koordinaten durch eine Transformationsmatrix und gebe Sie die Bildpunkte des rotierenden Dreiecks an. Meine Ideen: Also, als erstes habe ich den Schwerpunkt ausgerechnet über: $\begin{eqnarray} y_{s}=(y_{A}+y_{B}+y_{c})/3 <br /> und <br /> x_{s}=(x_{A}+x_{B}+x_{c})/3 \end{eqnarray}$ ausgerechnet und S(2/2) erhalten. Außerdem weiß ich damit, dass mein $\begin{eqnarray} x_{0}=y_{0}=2 \end{eqnarray}$ ist. Aus der Aufgabenstellung weiß ich zudem, dass $\begin{eqnarray} \alpha =60° \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_{x}=m_{y}=1 \end{eqnarray}$ ist, da nichts verzerrt wird. Daher erhalte ich als Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3} }{2} & 2 \\ -\frac{\sqrt{3} }{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 &0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bekomme ich nun die Bildpunkte? Durch Multiplikation der Matrix mit den Punkten, indem ich die 3. Koordinate 0 setzte, also zB A=(1,1,0)? da ich das graphisch schon gemacht habe, hatte ich eigentlich eine Kontrolle, aber entweder stimmt das gemalte nicht oder die Multiplikation. Vllt ist ja aber auch der Rechenweg falsch!?! Hoffe mir kann jemand helfen. Schoneinmal Danke Julia
03.01.2011, 12:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müßtest uns erst einmal erklären, aus welchen Blöcken diese Matrix aufgebaut ist. Zunächst irritieren die Vorzeichen der Wurzeln. Sollte das nicht gerade umgekehrt sein? Die Drehung um den Schwerpunkt kannst du dir so aufgebaut vorstellen: Du schiebst das Dreieck mit der Translation $\begin{eqnarray} x \mapsto x-s \end{eqnarray}$ (Vektoren als Spalten, wobei $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ der Ortsvektor des Schwerpunktes sei) in den Ursprung. Dann drehst du mit Hilfe einer 2×2-Matrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ um den Ursprung: $\begin{eqnarray} x \mapsto Dx \end{eqnarray}$ . Und schließlich wird in die alte Lage zurückgeschoben: $\begin{eqnarray} x \mapsto x+s \end{eqnarray}$ . Wenn du die Abbildungen so verkettest, erhältst du insgesamt $\begin{eqnarray} x \mapsto D \cdot (x-s) + s = Dx - Ds + s = Dx + c \ \ \text{mit} \ \ c = -Ds + s \end{eqnarray}$
03.01.2011, 12:21	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass $\begin{eqnarray} T_{ges}=T_{h}M_{h}R_{h} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T_{h}=\begin{pmatrix}1 & 0 &x_{0} \\ 0 &1 & y_{0} \\ 0 &0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} R_{h}=\begin{pmatrix} cos \alpha & sin \alpha & 0 \\ - sin \alpha & cos \alpha & 0 \\ 0 &0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} M_{h}=\begin{pmatrix} m_{x} & 0 & 0 \\ 0 & m_{y} & 0 \\ 0 &0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich mein $\begin{eqnarray} x_{0}=y_{0}=2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha =60° \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_{x}=m_{y}=1 \end{eqnarray}$ eingesetzt und die Multiplikationen ausgeführt. Für $\begin{eqnarray} T_{h}M_{h}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 &0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} T_{h}M_{h}R_{h}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3} }{2} & 2 \\ -\frac{\sqrt{3} }{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 &0& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalten. So bin ich vorgegangen.
03.01.2011, 12:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, mich irritieren die Vorzeichen der Drehmatrix $\begin{eqnarray} R_h \end{eqnarray}$ bei den Sinustermen. Aber vielleicht dreht ihr ja auch im Uhrzeigersinn. Dann stimmt es. Was bei dir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißt, heißt bei mir $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Und wie man $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ berechnet, steht in meinem vorigen Beitrag.
03.01.2011, 15:39	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher weiß ich denn wir rum ich drehen soll? In der Aufgabenstellung steht nur, dass wir um 60° drehen. Wenn ich das c jetzt so ausrechne, wie du gesagt hast, dann erhalte ich für $\begin{eqnarray} x_{0}=1-\sqrt{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_{0}=1+\sqrt{3} \end{eqnarray}$ , wobei ich $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} cos \alpha & sin \alpha \\ -sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ genommen habe. Stimmt das soweit? Kann ich das dann in meine Formel von vorhin einsetzten?
03.01.2011, 16:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt, und du kannst gleich alle Blöcke zu einer Matrix zusammensetzen: $\begin{eqnarray} T_{\text{ges}} = \begin{pmatrix} D & \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn du $\begin{eqnarray} T_{\text{ges}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multiplizierst, sind die ersten beiden Koordinaten die Koordinaten des Bildpunktes von $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ . Und zur Angabe eines Drehzentrums und eines Drehwinkels gehört auch immer die Angabe einer Drehrichtung. Vielleicht wurde in der Vorlesung ja diesbezüglich auch eine Konvention getroffen.
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03.01.2011, 17:52	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, irgendjemand hat mal erklärt, dass wir immer von x nach y drehen, allerdings sind wir Geodäten und da sind die x und y Achsen vertauscht. Sind das dann so? Woher weiß ich denn wie ich das drehe und welchen Winkel ich dann beim Berechnen verwenden muss? Und warum multipliziere ich $\begin{eqnarray} T_{\text{ges}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nicht mit $\begin{eqnarray} T_{\text{ges}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Fragen über Fragen
03.01.2011, 17:56	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, ich hab ne Idee, warum da ne 1 steht, weil sonst die 3. Spalte der Matrix beim Multiplizieren ja immer wegfällt, richtig?

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