Basisbestimmung mithilfe von Matrizen

03.01.2011, 11:38	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisbestimmung mithilfe von Matrizen Hallo Wenn ich folgende Aufgabe habe: Es seien $\begin{eqnarray} v_{1}, v_{2},v_{3}\in V \end{eqnarray}$ (V ein K-Vektorraum). Prüfen Sie ob $\begin{eqnarray} v_{1}, v_{2},v_{3} \end{eqnarray}$ eine Basis von V ist. Nun könnte ich erst linear unabhängigkeit zeigen und danach Erzeugendensystem. Deutlich schneller geht es aber, wenn ich die 3 Vektoren in eine Matrix schreibe, Zeilenumformungen mache und mir den Zeilenraum anschaue. Jetzt meine Frage dazu: Was mache ich wenn die 3 Vektoren gar kein Erzeugendensystem von V sind, ich das aber auf den ersten Blick nicht sehe und ganz normal inMatrix schreibe und Zeilenumformungen mache? Konkretes Beispiel: Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray}$ und die drei Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1}= (1,0,0,0) v_{2}= (0,1,0,0) v_{3}= (0,0,1,0) \end{eqnarray}$ Wenn ich diese jetzt in die Matrix schreibe, dann hättes diese Matrix den Rang 3, die Dimension von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray}$ ist aber 4. Heißt das, das ich bevor ich Vektoren in Matrix schreibe und Zeilenumformungen mache immer erst prüfen muss ob die gegegeben Vektoren überhaupt ein Erzeugendensystem bilden? Danke für eure Hilfe! Liebe Grüße Biene
03.01.2011, 11:58	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Menge kann nur dann ein Erzeugendensystem eines VR sein, wenn man eine Basis aus dem Erzeugendensystem wählen kann (im endlich dimensionalen). Eine Basis ist eine maximal linear unabhängige Menge. Offensichtlich sind deine 3 Vektoren des R^4 keine maximal linear unabhängige Menge (wir können ohne Probleme einen vierten Vektor finden, so dass diese 4 Vektoren linear unabhängig sind), daher können diese 3 Vektoren keine Basis bilden, und damit mit Sicherheit auch kein Erzeugendensystem des R^4. Anders gesprochen, wenn Du einen VR $\begin{eqnarray} X = \mathbb{K}^n \end{eqnarray}$ hast, und m < n Vektoren untersuchst, dann sind diese Vektoren niemals (!) ein Erzeugendensystem von X.
03.01.2011, 20:46	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist mir schon klar bei den oben gewählten vektoren in meinem beispiel. Aber angenommen, es ist nicht von vornherein ersichtlich, dass die Vektoren ein EZS bilden was macht man dann?
04.01.2011, 08:39	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rang der entsprechenden Matrix liefert dir die Dimension, des von den Spalten/Zeilen erzeugten Raumes. Ist diese Dimension gleich der Dimension des Vektorraums sind die Vektoren ein Erzeugendensystem, ansonsten nicht.

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