Konvergente Folge/Injektivität

03.01.2011, 11:50

lyla

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Konvergente Folge/Injektivität

Meine Frage:
hallo smile

smile

mir bereitet diese aufgabe probleme:

Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) _{n\geq1} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge komplexer Zahlen und $\begin{eqnarray*} \gamma :\mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ injektiv, so ist auch $\begin{eqnarray*} \left(a_{\gamma (n)} \right) _{n\geq 1} \end{eqnarray*}$ konvergent

Meine Ideen:
Eine wirkliche idee habe ich noch nicht.

ich weiß aber:
$\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) _{n\geq1} \end{eqnarray*}$ konvergent, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n} -a |<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n aus N mit n> gleich n0

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ injektiv, dann gilt $\begin{eqnarray*} \gamma (x)=\gamma (y) \end{eqnarray*}$ , daraus folgt x=y

kann mir jemand weiterhlefen?

lyla

03.01.2011, 13:03

Mazze

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Bei dieser Aufgabe ist es sinnvoll sich mal "in Worten" zu überlegen was Konvergenz bedeutet. Es bedeutet, egal wie klein ich Epsilon wähle, es sind immer nur endlich viele Folgenglieder ausserhalb der Epsilonumgebung um den Grenzwert. Wenn ich eine injektive Funktion nutze, um die Indizes zu transformieren, dann sind immernoch nur endlich viele Folgenglieder ausserhalb der Epsilonumgebung um den Grenzwert (was ist der Grenzwert ? ), du musst dir nur den größten der endlich vielen Indizes heraussuchen und erhälst dein N (warum existiert so ein größter Index ? ). Formuliere diese Gedanken mal ordentlich!

03.01.2011, 14:17

lyla

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vielleicht so:

Beweis durch Widerspruch:

Angenommen $\begin{eqnarray*} a_{\gamma (n)} \end{eqnarray*}$ ist nicht konvergent gegen a.

Dann folgt, dass nicht für alle epsilon>0 ein $\begin{eqnarray*} a_{\gamma (n)}\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |a_{\gamma (n)}-a |< epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>n0.

Da aber nach VR $\begin{eqnarray*} |a_{\gamma (n)}-a |>= epsilon \end{eqnarray*}$ nur für endlich vile n gilt, folgt, dass $\begin{eqnarray*} |a_{\gamma (n)}-a |>= epsilon \end{eqnarray*}$ ein Maximum n0 haben muss, ab dem $\begin{eqnarray*} |a_{\gamma (n)}-a |< epsilon \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} a_{\gamma (n)} \end{eqnarray*}$ konvergent.

geht das so?

grüße

03.01.2011, 14:25

Mazze

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Zitat:

Da aber nach VR nur für endlich vile n gilt

Das ist keine Voraussetzung, würden wir das Voraussetzen, hätten wir die Konvergenz vorausgesetzt. Das ist zu zeigen.

Überlege Dir zunächst warum

$\begin{eqnarray*} M = \max \{\gamma(n) : |a_{\gamma(n)} - a| \geq \varepsilon \land n \in \mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$

existiert und wie dir dieses M hilft.

03.01.2011, 15:46

lyla

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also $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist ja injektiv.

Also ist $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ monoton; in diesem fall steigend, da N mit 1 nach unten beschränkt ist.
M ist dann der Abschnitt, ab dem $\begin{eqnarray*} |a_{\gamma (n)}-a|\geq epsilon \end{eqnarray*}$ gilt

03.01.2011, 15:50

Mazze

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Gamma ist nicht zwingend Monoton. Aus Injektivität folgt nicht die Monotonie. Und auch das was Du zu M sagst ist nicht richtig. M ist der größte Index , für den $\begin{eqnarray*} |a_M - a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt, was gilt also für alle $\begin{eqnarray*} n > M \end{eqnarray*}$ ?

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04.01.2011, 10:02

lyla

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für n>M müsste dann doch erst recht $\begin{eqnarray*} |a_{M}-a |\geq epsilon \end{eqnarray*}$ gelten, oder?

04.01.2011, 10:12

Mazze

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Ich frage mich ernsthaft, ob Du ließt was ich schreibe. Ich habe geschrieben :

Zitat:

M ist der größte Index , für den $\begin{eqnarray*} |a_M - a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt, was gilt also für alle

Wenn Du jetzt sagst, dass für alle n > M erst recht $\begin{eqnarray*} |a_n - a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ gelten soll, wie kann dann M der größte index sein der das erfüllt? Offensichtlich wären dann alle n > M größere Indizes als M. Nein, was gilt für n > M ?

04.01.2011, 10:24

lyla

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ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen unglücklich

unglücklich

naja, dann gilt $\begin{eqnarray*} |a_{M} -a| \leq epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n>M

04.01.2011, 10:32

Mazze

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Achte auf das was Du schreibst. Genauer gilt

$\begin{eqnarray*} |a_n - a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > M \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere heißt das, dass für alle $\begin{eqnarray*} \gamma(n) > M \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} |a_{\gamma(n)} - a| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

ist, damit ist die Konvergenz gezeigt. Es bleibt zu beweisen, dass M existiert, und dazu braucht man die Injektivität von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

05.01.2011, 13:02

lyla

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Bei der Injektivität tritt nun jede natürliche Zahl nur einmal auf, wobei die Reihenfolge egal ist.

Mir ist aber ehrlich gesagt noch nicht klar, warum so eine Menge M existiert..
M ist das Maximum von $\begin{eqnarray*} \gamma (n):|a_{\gamma (n)}-a|\geq epsilon \end{eqnarray*}$ . Aber wie kann denn so ein Maximum existieren, wenn n aus den natürlichen Zahlen stammt und somit unbeschränkt nach oben ist??

05.01.2011, 13:08

Mazze

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Der Punkt ist, dass es nur endlich viele Indizes k gibt, für die

$\begin{eqnarray*} |a_k - a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Das ist so, weil die Folge a_n gegen a konvergiert (hab ich eingangs ja schon erläutert). Wenn es nur endlich viele Indizes dieser Art gibt, so gibt es auch einen größten Index der diese Bedingung erfüllt. So, das ist jetzt nichts schwieriges.

Nun bilden wir die Indizes aber Injektiv auf neuer Indizes mittels der Abbildung Gamma ab. Was können wir über die Anzahl der Indizes $\begin{eqnarray*} \gamma(n) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |a_{\gamma(n)} - a| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$

sagen?

05.01.2011, 13:59

lyla

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ah ja okay.
das mit dem maximum habe ich dann auch endlich mal verstanden Hammer

Hammer

An der Anzahl der Indizes dürfte sich nichts ändern?!

05.01.2011, 14:03

Mazze

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Zitat:

An der Anzahl der Indizes dürfte sich nichts ändern?!

Das ist so nicht richtig, die Anzahl der neuen Indizes ist kleinergleich der Anzahl der alten. Aber das ist gar nicht so wichtig, denn es reicht, dass die Anzahl endlich bleibt. Das muss aber explizit gezeigt werden, und dafür braucht man die Injektivität.

05.01.2011, 14:53

lyla

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beid der injektivität wird jedem x aus der Def höchstens ein y aus der Zielmenge zugeordnet.
Sei die Anzahl der Indizes n, dann ist die Anzahl der neuen Inidzes <= n, da nicht jedem x ein y wert zugeordnet werden muss.

Da die Anzahl der neuen Indizes >=n ist, ist die Anzahl erst recht endlich.

reicht das schon?

05.01.2011, 14:59

Mazze

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Du hast im Prinzip nur wiederholt was ich geschrieben habe. Du musst explizit zeigen, dass die Menge endlich bleibt. Nehmen wir an, die Menge

$\begin{eqnarray*} \{\gamma(n) : |a_{\gamma(n)} - a| \geq \epsilon \land n \in \mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$

wäre unendlich, dann gäbe es, da Gamma injektiv ist, unendlich viele Indizes mit $\begin{eqnarray*} |a_k - a| \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ , das Widerspricht aber der Konvergenz von a_k gegen a. Damit muss die Menge endlich sein (und das für alle Epsilon!).

05.01.2011, 15:29

lyla

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okay, danke für deine hilfe.
die aufgabe war nicht so mein ding^^ verwirrt

verwirrt

05.01.2011, 15:34

Mazze

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Den Punkt, warum es unendlich viele Indizes im Urbildraum von Gamma gibt, wenn die Menge unendlich wäre, müsste man eventuel noch etwas genauer betrachten. Etwa so :

Ich nenne die Menge mal X , sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} \gamma^{-1}(x) \neq y ~ \forall y \in \mathbb{N}\text{ mit } \gamma(y) \in X \land \gamma(y) \neq x \end{eqnarray*}$

Das ist eine explizite Anwendung der injektivität. Daraus folgt jedoch, dass die Urbildmenge auch unendlich sein muss.

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