alle lösungen einer komplexen funktion

03.01.2011, 13:29

vNecked

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alle lösungen einer komplexen funktion

Meine Frage:
sooo ich soll alle lösungen einer komplexen funktion herausfinden
ich weiß leider nicht wie ich diese aufgabe angehen soll :S

undzwar habe ich gegeben z^5+(2j-2(wurzel von 3))z=0

Meine Ideen:
ich muss doch erstmal die kartesische form in exponentialform darstellen..
also erstmal geteilt durch z dann hat man ja
z^4 + (2j-2(wurzel 3)) = 0
dann nach z umstellen

dann bekommt man ja

z= 4.wurzel aus(2 wurzel 3 - 2j)

03.01.2011, 14:12

lgrizu

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RE: alle lösungen einer komplexen funktion
Ich kann nicht genau erkennen, wo es harkt oder wo du nicht weiter kommst, dein bisheriges Vorgehen ist richtig, bringe nun $\begin{eqnarray*} 2i-2 \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ in exponentialform, damit das Potenzieren einfacher wird.

03.01.2011, 14:16

vNecked

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ok also ich hab z= 4. wurzel von (2i- 2 wurzel 3)

dann ist mein r= wurzel aus a+b

also r= wurzel aus (2 + 2 wurzel 3)

oder reicht schon das umstellen nach z^4
und ich zieh dann halt keine wurzel
und meine exponential form ist dann nachher
z^4=re^i*phi

03.01.2011, 14:16

vNecked

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dann wäre mein r=wurzel von 10

03.01.2011, 14:18

lgrizu

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Zunächst einmal ist $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ , euklidsche Vektornorm Augenzwinkern

Augenzwinkern

Damit wäre $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{2^2+(2 \cdot \sqrt{3})^2}=\sqrt{16}=4 \end{eqnarray*}$ .

Nun die Exponentialform bestimmen, also erst einmal das Argument, dann die Exponentialform.

03.01.2011, 14:20

vNecked

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uuund der winkel phi wäre dann phi=arcsin y/r

phi= arcsin 2/wurzel 10

kann das stimmen?

bei mir hängts halt halt dann bei den verschiedenen lösungen

ich weiß nicht wie ich alle lösungen rausbekommen kann

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03.01.2011, 14:21

vNecked

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ah ok hatte einen fehler beim quadrieren Big Laugh

Big Laugh

hab die 2 nicht quadriert gehabt

also phi=arcsin 2/4

03.01.2011, 14:23

vNecked

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z^4=4*e^(i*(pi/6))

soo wie komm ich denn jetzt auf alle lösungen? :S

03.01.2011, 14:30

lgrizu

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Jetzt mal eins nach dem anderen, zuerst einmal muss das Argument richtig bestimmt werden.

Wie schaut denn die Trigonometrische Darstellung deiner Zahl $\begin{eqnarray*} 2i-2 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ aus?

03.01.2011, 14:34

vNecked

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einfach z=cos (pi/6) + i*sin (pi/6)

oder?

03.01.2011, 14:43

lgrizu

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Leider nicht ganz richtig, es ist $\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{\pi}{6} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ und den Radius hast du als Multiplikator auch vergessen.

Machen wir das mal Schritt für Schritt:

Wir haben bisher:

$\begin{eqnarray*} -2 \sqrt{3}+2i=4 \cdot \left( -\frac{ \sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{2}i \right)=4 \cdot \left( \cos \phi + i \sin \phi \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist also $\begin{eqnarray*} \cos \phi = -\frac{ \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \phi = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wie schaut also das Argument aus?

03.01.2011, 14:51

vNecked

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ich kann dir nich so ganz folgen..wie kommst du auf 1/2 i?

03.01.2011, 14:54

vNecked

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ah ok kapiert^^ aber was meinst du denn mit argument???

wie haben ja dann
4*(cos -pi/6 + i*sin 1/2)

03.01.2011, 15:04

lgrizu

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Das Argument einer komplexen Zahl ist der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du denn ständig auf so etwas wie $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ und was soll $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{- \pi}{6} \end{eqnarray*}$ denn sein, das entspräche dem Winkel $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{11}{6} \pi \end{eqnarray*}$ .

Welche beiden Möglichkeiten hast du, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \sin \phi =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Welche von denen kannst du ausschließen, da auch gelten muss: $\begin{eqnarray*} \cos \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2011, 15:10

vNecked

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...wir haben doch schon das argument oO

nochmal

r=4

darstellung trigonometrische form
z=r*(cos phi + i*sin phi)

1. winkel cos phi= x/r = (-2wurzel 3) / 4
2. winkel sin phi= y/r = (2 / 4)

dann hab ich

z=4*((-2wurzel 3) / 4) + i*(2/4))

argument = x/y = -2(wurzel 3) / 2

03.01.2011, 15:20

lgrizu

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Zitat:

Original von vNecked
...wir haben doch schon das argument oO

Habe ich etwas übersehen?

Zitat:

Original von vNecked
nochmal

r=4

darstellung trigonometrische form
z=r*(cos phi + i*sin phi)

1. winkel cos phi= x/r = (-2wurzel 3) / 4
2. winkel sin phi= y/r = (2 / 4)

dann hab ich

z=4*((-2wurzel 3) / 4) + i*(2/4))

argument = x/y = -2(wurzel 3) / 2

Und wie schaut $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nun aus?

03.01.2011, 15:42

vNecked

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für cos einmal 150°

und einmal

30° für sin

für tan -60°

ich weiß leider nich was du meinst :S
is einer von den winkeln der den du meinst? Big Laugh

Big Laugh

03.01.2011, 15:47

lgrizu

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Okay, 150°, den nehmen wir, denn es ist $\begin{eqnarray*} \sin \frac{5}{6} \pi=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos \frac{5}{6} \pi =- \frac{\sqrt3}{2} \end{eqnarray*}$ , damit haben wir das Argument $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{5}{6} \pi \end{eqnarray*}$ .

Nun bringen wir die Zahl in die Exponentialform, wie schaut diese aus?

03.01.2011, 15:52

vNecked

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exponentialform=4*e^i*(5/6)pi

03.01.2011, 17:51

lgrizu

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Okay, Klammern richtig setzen, aber dann ist richtig, wir haben also die Exponentialform $\begin{eqnarray*} -2 \cdot \sqrt3 + 2i=4 \cdot \exp \left( \frac{5}{6} \pi i \right) \end{eqnarray*}$ .

Nun wird die 4. Wurzel gezogen, hier gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \cdot \exp \left( \frac{\phi +2k \pi}{n} \right) \end{eqnarray*}$ , wobei k die Werte 0,1,...,n-1 durchläuft.

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