Berechnen von Sinus/ cosinus und zwar exakt.

03.01.2011, 13:44	Student1020	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen von Sinus/ cosinus und zwar exakt. Meine Frage: Ich habe schon bald eine Woche daran rumprobiert, aber ich kriegs nicht hin. Ich muss zeigen wie man Sinus cosinus, (ohne taschenrechner) berechnet und dabei die Rechenschritte aufzeigen. Ich habe wirklich alles probiert und ich weiß dass sinus =Gegenkathete/Hyptenuse cosinus= Ankathethe/Hyptenuse ich weiß eigentlich alles dazu komm aber nicht darauf wie ich das machen soll ! Danke schonm,aol im voraus Meine Ideen: sinus =Gegenkathete/Hyptenuse cosinus= Ankathethe/Hyptenuse Sinus/cosinus von irgendeiner Zahl ist der Winkel
03.01.2011, 14:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte Werte dieser Funktionen im Sinne von Wurzelausdrücken oder Ähnlichem kann man nur in besonders gelagerten Fällen angeben. Zum Beispiel für den 45°-Winkel im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck oder für den 60°- oder 30°-Winkel im gleichseitigen Dreieck. Schon komplizierter wird es für den 36°- oder 72°-Winkel. Das führt auf den Goldenen Schnitt.
03.01.2011, 14:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne Taschenrechner kann man Winkelfunktionen nur von ausgesuchten (besonderen) Winkeln berechnen. Dazu verwendet man recktwinkelige Dreiecke, welche wegen der besonderen Winkel bekannte Seiten haben. Beispiel: sin(30°) kann aus einem halben gleichseitigen Dreieck (Gegenkathete = a/2, Hypotenuse = a) berechnet werden. Die Funktionswerte weiterer (besonderer) Winkel folgen zum Beispiel aus den Additionstheoremen cos(15°) = cos(45° - 30°) = ... $\begin{eqnarray} \sin (22,5°) = \sqrt {\frac{1 - \cos(45°)} 2} \end{eqnarray}$ usw. Bemerkung: Allgemein kann die Winkelfunktion eines jeden Winkels, der ein Vielfaches von 3° darstellt, algebraisch berechnet werden. Kannst du - mittels der in den vorangegangenen Beiträgen ersichtlichen Hinweise - sagen, weshalb? mY+
03.01.2011, 14:17	Student1020	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf diese Rechnung mit den sin(22,5°).... Ich verstehe nicht wie du darauf kommst ? Danke erstmal für die Antwort, aber wie kommt man darauf ? gibt es eine allgemeine Regel mit der man alles berechnen kann ? Solang die Rechenschritte aufgezeigt sind darf man auch mit taschenrechner, also nur weil mans im Kopf nicht rechnen kann - daran solls nicht sheitern
03.01.2011, 14:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dem 2. Additionstheorem folgt (für y = 0) $\begin{eqnarray} 1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac x 2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 + \cos x = 2 \cos^2(\frac x 2) \end{eqnarray}$ mY+
17.02.2011, 23:30	Dman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Vorweg will ich mich für mögliche Rechtschreibfehler entschuldigen. Ich bin auch seit geraumer Zeit auf der Suche nach der Lösung den Sinus nachzustellen. Ich stelle mal kurz meine Vorgehensweise vor : Die Funktion f, die aufgebaut werden soll, muss den gleichen Gesetztmässigkeiten wie der Sinusfunktion folgen. Folglich muss bei der gesuchten Funktion f gleiches gelten, wie bei der Winkelfunktion Sinus' : $\begin{eqnarray} f ( a ) = Gegenkathete / Hypotenuse \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} f ( a ) = A / C \end{eqnarray}$ Fürs Verständnis nochmal das Grundlegende : $\begin{eqnarray} A = \end{eqnarray}$ Gegenkathete von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \end{eqnarray}$ Ankathete von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C = \end{eqnarray}$ Hypotenuse von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Diese Bedingung setzten wir in den Einheitskreis ein, welcher aus dem Radius r = 1 besteht. Damit wir nun das Verhältnis der gesuchten Funktion bestimmen können brauchen wir die Gegenkathete, die abhängig vom Winkel a ist. Es sollte bekannt sein, dass ein Kreis mit folgenden Funktionen gebildet werden kann : $\begin{eqnarray} h = \sqrt{ r² - x²} \end{eqnarray}$ ( Nunja, eher ein Halbkreis. Man kann die funktion einfach umdrehen und schon hat man einen "Vollkreis") Um den Winkeln gerecht zu werden müssen wir x in einem Term verwandeln der mit Winkeln bis zu 90(180) umgehen kann. Folglich sieht die "Halbkreisfunktion" so aus : $\begin{eqnarray} f = \sqrt{ 1² - (\frac{x }{90}-1)²} \end{eqnarray}$ So nun haben wir eine Funktion die für Winkel bis 90 steigt ( bis 1) und dannach bis 180 sinkt und schließlich bei 0 angekommt. Genau das gleiche Verhalten, wie von der Sinuskurve zu erwarten wäre. Nun habe ich getestet, ob diese Funktion nun wirklich wahrheitsgemäß funktioniert. Es stellt sich herraus , dass nur drei Punkte vorhanden sind, welche deckungsgleich liegen : P (0,0) P (90,1) P (180,0) Also am Ursprung, am ersten Scheitelpunkt und an der Nullstelle. Die Tabelle dazu wäre : sin(0) - f(0) : 0 sin(10) - f(10) : -0.284475 sin(20) - f(20) : -0.286519 sin(30) - f(20): -0.245356 sin(40) - f(40): -0.188692 sin(50) - f(50): -0.129762 sin(60) - f(60): -0.0767836 sin(70) - f(70): -0.0353034 sin(80) - f(80): -0.00900024 sin(90) - f(90): 0 sin(100) - f(100) : -0.00900024 sin(110) - f(110) : -0.0353034 sin(120) - f(120) : -0.0767836 sin(130) - f(130) : -0.129762 sin(140) - f(140) : -0.188692 sin(150) - f(150) : -0.245356 sin(160) - f(160) : -0.286519 sin(170) - f(170) : -0.284475 sin(180) - f(180) : 0 Das Bild dazu wäre : Edit (mY+): Links zu externen Upladseiten sind zu vermeiden. Hänge statt dessen die Grafik an deinen Beitrag an! Zum Vergrößern auf die Bildvorschau klicken! [attach]18200[/attach] Warum dies funktionieren sollte : Die Funktion sollte meines Erachtens funktionieren. Nochmal, Sinus sagt folgendes aus : $\begin{eqnarray} sinus ( \alpha ) = A / C \end{eqnarray}$ Beim Einheitskreis kann man C auslassen, da C die Hypotenuse darstellt die gleichzeitig r ist.(r = 1) Also ist beim Einheitskreis sin( a ) = A, wobei A die Höhe der Gegenkathete vom Winkel a angibt. A ist sogesehen der funktionswert f von der Einheitskreisfunktion $\begin{eqnarray} h = \sqrt{ r² - x²} \end{eqnarray}$ Ich bin mir dessen bewusst, dass die modifizierte Einheitskreis-Funktion kein Kreis sondern eine Elipse darstellt, deren große Halbachse 90 und deren kleine Halbachse 1 beträgt. Doch dies sollte meiner Sicht nach kein Problem darstellen. ( oder doch ??? ) Ich hoffe ihr habt das Problem verstanden und könnt mir helfen: D Ich bedanke mich im Vorraus.
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