Grenzwert Binomialkoeffizient

03.01.2011, 16:55

Melanie123

Grenzwert Binomialkoeffizient

Meine Frage:
Hey,

wie berechne ich den Grenzwert der nachstehenden Folge:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}*\frac{1}{(-3)^{n-k}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und vlt. allgemein sagen, wie ich bei Grenzwerten mit dem Binom umgehe.

lg

03.01.2011, 17:48

klarsoweit

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RE: Grenzwert Binomialkoeffizient
Soll das wirklich ein Produkt sein oder handelt es sich eher um eine Summe, also um sowas:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}*\frac{1}{(-3)^{n-k}} \end{eqnarray*}$
?

03.01.2011, 17:54

Manni Feinbein

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RE: Grenzwert Binomialkoeffizient
Es ist $\begin{eqnarray*} {n\choose k}\leq 2^n\text{ für alle }k\leq n. \end{eqnarray*}$

Das sollte helfen.

03.01.2011, 18:01

tmo

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@Manni: Ist diese Abschätzung wirklich stark genug? verwirrt

Ich hab AMGM drauflosgelassen und es hat noch nicht gereicht.

Ein weiterer Ansatz wäre $\begin{eqnarray*} a_n := \prod_{k=0}^n \frac{\binom{n}{k}}{(-3)^{n-k}} \end{eqnarray*}$ zu definieren (Der n-te Faktor ist eh 1, also kann man ihn einfach dazunehmen) und dann $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

03.01.2011, 18:09

Melanie123

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ahh mist..ich mein wirklich die Summe und nicht das Produkt, tut mir leid. Trotzdem komm ich aber nicht auf die Lösung bzw. auf einen Ansatz...

03.01.2011, 18:12

tmo

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Mit dem Produkt wäre die Aufgabe deutlich interssanter, so musst du nur den binomischen Lehrsatz erkennen. smile

03.01.2011, 18:19

Melanie123

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hmm..daran habe ich auch schon gedacht, jedoch fehlt mir noch die Umformung!

03.01.2011, 18:46

Melanie123

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$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} * 1^k * (\frac{1}{-3})^{n-k} \end{eqnarray*}$

wäre das der Richtige Ansatz und schließlich $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{3})^n \end{eqnarray*}$ die Lösung?

03.01.2011, 19:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Melanie123
ahh mist..ich mein wirklich die Summe und nicht das Produkt, tut mir leid.

Hatte ich es mir doch gedacht. Augenzwinkern

Du mußt noch aufpassen, daß du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}*\frac{1}{(-3)^{n-k}} \end{eqnarray*}$ hast und nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}*\frac{1}{(-3)^{n-k}} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten stimmt die Richtung.

04.01.2011, 00:18

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von tmo
@Manni: Ist diese Abschätzung wirklich stark genug?

Nö das ist sie nicht. Da hab ich zu schnell geschossen.

04.01.2011, 13:31

Melanie123

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also muss ich nur noch -1 rechnen oder?

04.01.2011, 13:39

klarsoweit