Grenzwertbeweis durch e

03.01.2011, 17:13	duden19	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbeweis durch e Meine Frage: Hallo liebe Mathematiker, Ich habe ein leider ein Problem mit dieser Aufgabe. Folgender Grenzwert soll bewiesen werden: $\begin{eqnarray} \lim_{ x\to 0} \frac{e^{x}- 1}{x} \end{eqnarray}$ Hierfür soll verwendet werden: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \ \left(1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}= e \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß leider nicht wie ich e für den beweis nutzen soll. Habe versucht umzuformen und einzusetzen. Aber mir fehlt einfach die Grundidee. Würde mich über ein bisschen Hilfe und einen Ansatz freuen.
03.01.2011, 18:41	duden19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vergas zu erwähnen, dass der Grenzwert gleich 1 ist. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to o} \frac{e^{x}-1}{x} =1 \end{eqnarray}$ Schon mal vielen Dank im vorraus.
03.01.2011, 23:57	denkstau	Auf diesen Beitrag antworten »
also, ich bin mir nicht 100% sicher, aber ich hoffe das dir das weiter hilft ^^ wenn du das $\begin{eqnarray} \left( {1}- \frac {1}{n}\right)^{n}={e} \end{eqnarray}$ in die $\begin{eqnarray} \frac{e^x-1}{x}={1} \end{eqnarray}$ einsetzt und die bernoulli ungleichung anwendest solltest du auf was kommen.
04.01.2011, 07:57	duden19	Auf diesen Beitrag antworten »
mmh, habe es ausprobiert. Da kommt auch nichts nettes raus. Ist das vielleicht ein Ansatz? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} e^{x} - 1= \lim_{x \to 0} x = 0 \end{eqnarray}$
04.01.2011, 14:43	denkstau	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn du das einsetzt habe ich da (kann auch sein das es falsch ist) $\begin{eqnarray} \frac {\left( 1-\frac{x}{n}\right)^n+1} {x} \end{eqnarray}$ und wenn du das mit bernoulli abschätzt kommt da $\begin{eqnarray} \frac {\left( 1-\frac{x}{n}\right)^n+1} {x}~\geq \frac {\left( 1-n\frac{x}{n}\right)+1}{x}\stackrel{}{=}\frac{\left(1-x\right)+1}{x}\stackrel{}{=}\frac {x}{x}\stackrel{}{=}{1} \end{eqnarray}$ wäre meine idee gewesen bin mir aber nicht sicher ob sich da die lim für n und x irgendwo stören gegenseitig ....
04.01.2011, 16:32	duden19	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau, ob die beiden Grenzwerte kompatibel sind frage ich mich auch. ausserdem muss es bei e ein + und kein - sein. Also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n}= e \end{eqnarray}$
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04.01.2011, 19:11	denkstau	Auf diesen Beitrag antworten »
achja sry, hab + und - vertauscht ^^ aber macht keinen unterschied .... wie gesagt, grenzewerte bin ich mir nicht sicher ....
04.01.2011, 19:48	duden19	Auf diesen Beitrag antworten »
So also wenn man alles schön sauber aufschreibt haut das auch mit den Limes hin. Und ja, da zwei Vorzeichen falsch waren stimmt es auch wieder unter dem Strich. Also vielen Dank!

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