Zeigen Sie, dass

21.11.2006, 18:06

nitric

Zeigen Sie, dass

Hallo zusammen,

$\begin{eqnarray*} \forall \quad x_i \geq 0~, \quad x_i \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4} \leq \frac{ x_1 +x_2 +x_3 +x_4} {4} \end{eqnarray*}$

Hinweis (Formel 2 mal anwenden!):
$\begin{eqnarray*} ab \leq {\left( \frac{a+b}{2} \right)}^2 \end{eqnarray*}$

Ich beiße mir jetzt schon die ganze Zeit die Zähne dran aus... Egal wie herum ich es versuche...

21.11.2006, 18:07

Dual Space

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RE: Zeigen Sie, dass
Das ist die Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel. Zeig uns doch mal wie weit du gekommen bist.

21.11.2006, 18:18

nitric

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Hmmm...

Nicht sehr weit ich nehme jetzt mal diesen Weg hier:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x_1 x_2} \sqrt[4]{x_3 x_4} \leq {\left( \frac{\sqrt[4]{x_1 x_2} + \sqrt[4]{x_3 x_4}}{2} \right)}^2 = \frac{\left( \sqrt{x_1 x_2} + 2 \sqrt[4]{x_1 x_2} \sqrt[4]{x_3 x_4} + \sqrt{x_3 x_4} \right)}{4} \end{eqnarray*}$

Ich sehe nichts zum weitermachen oder zum abschätzen... geschockt

Edit: Größergleichzeichen...

Analog dazu habe ich es von rechts auch mal probiert und sah wiederum nichts zum Abschätzen... Außerdem gibt es noch einen Versuch das Ganze am Anfang mit 4 zu potenzieren.

21.11.2006, 18:22

Mathespezialschüler

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Versuche es lieber einmal mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}\leq\sqrt[4]{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

21.11.2006, 19:26

nitric

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Versuche es lieber einmal mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}\leq\sqrt[4]{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

Ja ich glaube ich bewege mich jetzt auf dem richtigen Pfad... Schonmal vielen, vielen Dank:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}\leq\sqrt[4]{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2} \leq \frac{{\left( \sqrt {\frac{x_1+x_2}{2}} + \sqrt {\frac{x_3+x_4}{2}} \right)}^2}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4 + 2 \sqrt{x_1+x_2} \sqrt{x_3+x_4}}{8} \end{eqnarray*}$

Jetzt wäre da nur noch zu zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{x_1+x_2} \sqrt{x_3+x_4} \leq x_1+x_2+x_3+x_4 \end{eqnarray*}$

Mit Zahlenwerten habe ich das auch prima hinbekommen... Wenn die plöde 2 da am Anfang nicht wäre traurig

21.11.2006, 19:33

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Zitat:

Original von nitric
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2} \leq \frac{{\left( \sqrt {\frac{x_1+x_2}{2}} + \sqrt {\frac{x_3+x_4}{2}} \right)}^2}{4} \end{eqnarray*}$

Du hast ein Talent, immer den komplizierten Weg zu gehen, jetzt schon zum zweiten Mal hier im Thread...

Setze doch einfach $\begin{eqnarray*} a=\frac{x_1+x_2}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=\frac{x_3+x_4}{2} \end{eqnarray*}$ oben in deine Ungleichung ein, es folgt

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right) \leq \left( \frac{\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_3+x_4}{2}}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$

21.11.2006, 19:34

Dual Space

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Zitat:

Original von nitric
Jetzt wäre da nur noch zu zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{x_1+x_2} \sqrt{x_3+x_4} \leq x_1+x_2+x_3+x_4 \end{eqnarray*}$

Mit Zahlenwerten habe ich das auch prima hinbekommen... Wenn die plöde 2 da am Anfang nicht wäre traurig

Wende einfach noch mal den Hinweis aus deiner Aufgabe an. Augenzwinkern

21.11.2006, 20:14

nitric

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Zitat:

Original von Dual Space
Wende einfach noch mal den Hinweis aus deiner Aufgabe an. Augenzwinkern

Das gibt eine rekursive Boshaftigkeit...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Du hast ein Talent, immer den komplizierten Weg zu gehen, jetzt schon zum zweiten Mal hier im Thread...

Setze doch einfach $\begin{eqnarray*} a=\frac{x_1+x_2}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=\frac{x_3+x_4}{2} \end{eqnarray*}$ oben in deine Ungleichung ein, es folgt

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right) \leq \left( \frac{\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_3+x_4}{2}}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$

*Neeeiiinnnn!* Hammer

Zweimal der gleiche Fehler...

Großes Lob ans Team... Ihr bringt anscheinend noch den Unbelehrbaren Mathe bei... Gott

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