Zeigen, dass die Aussage gilt (komplexe Zahlen)

03.01.2011, 18:33

HTCC1987

Zeigen, dass die Aussage gilt (komplexe Zahlen)

Zeigen Sie dass gilt,(a,b Elemente aus R)

|(a+ib)^2| = |a+ib|^2
ich habe nun schon viel gesehen, das an die Aufagbe mit z=a+ib rangegangen wird, mir fehlt leider total der Anfang

03.01.2011, 18:36

Iorek

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Das kann man auch direkt zeigen ohne z=a+ib zu verwenden.

Fang mit $\begin{eqnarray*} |(a+ib)^2| \end{eqnarray*}$ an, löse das Binom auf und bilde den Betrag.

03.01.2011, 18:38

HTCC1987

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Dann wäre das
|(a^2 + 2aib -b^2)| =|a^2-b^2| oder nicht,?? Da i^1 ja gleich -1 ist

03.01.2011, 18:44

Iorek

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Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} |a^2+2ab\cdot i-b^2|=|a^2-b^2| \end{eqnarray*}$ ? Wieso fällt bei dir einfach $\begin{eqnarray*} 2ab\cdot i \end{eqnarray*}$ weg?

03.01.2011, 18:49

HTCC1987

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03.01.2011, 18:52

Iorek

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Zitat:

Original von HTCC1987
|a+ib| = sqrt(a^2+ib^2
|a+ib|^2 = (a^2)+(ib)^2

Das ist beides falsch, schleunigst wieder vergessen.

Und einfach von etwas ausgehen darfst du natürlich nicht, du musst die Gleichheit schon zeigen.

Wir haben: $\begin{eqnarray*} |(a+ib)^2|=|a^2+2ab\cdot i-b^2| \end{eqnarray*}$ , bilde jetzt davon den Betrag.

03.01.2011, 18:58

HTCC1987

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Tut mir leid ich stehe wohl gerade auf dem Schlauch das ist doch schon der Betrag oder nicht?

03.01.2011, 18:59

Iorek

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Nein.

Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert?

03.01.2011, 19:02

HTCC1987

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|z| = sqrt(x^2+y^2)

in diesem Fall dann sqrt(a^2+b^2)??

03.01.2011, 19:06

Iorek

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Nein, das ist auch nicht richtig.

Für $\begin{eqnarray*} z=x+iy\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ , wir haben $\begin{eqnarray*} |a^2+2ab\cdot i -b^2| \end{eqnarray*}$ , du musst jetzt erstmal bestimmen, was hier dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist.

03.01.2011, 19:08

HTCC1987

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Achso....
x sind die Teile ohne Imaginärteil,sprich der Realteil und y der Rest
x = a^2-b^2
y = 2ab

also x^2 = (a^2-b^2)^2
y = (2ab)^2???

03.01.2011, 19:09

Iorek

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Ganz genau, damit kannst du jetzt den Betrag bestimmen.

03.01.2011, 19:13

HTCC1987

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|(a+ib)^2| = |a^2 +2ab*i - b^2| = |sqrt((a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2|

so?? Oder liege ich nun wieder falsch ... unglücklich

03.01.2011, 19:17

Iorek

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Bisher ist das alles richtig, löse jetzt den Term unter der Wurzel weiter auf.

03.01.2011, 19:24

HTCC1987

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Also wenn ich dann in die Ausgangsform einsetze ist dann

|(a+ib)^2| = |a +ib|^2
|(a^2 + 2ab*i - b^2)| = |a^2 + 2ab*i - b^2|
|(a^2 + 2ab*i - b^2)| = |sqrt((a^2-b^2)^2 +(2ab*i)^2)|
|(a^2 + 2ab*i - b^2)|=|a^2 - b^2 +2ab*i|
|(a^2 + 2ab*i - b^2)| = |a^2 + 2ab*i -b^2|

Augenzwinkern

03.01.2011, 19:27

Iorek

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Damit hast du die Behauptung aber unbewiesenermaßen direkt angewendet, indem du auf der rechten Seite das Quadrat in den Beitrag reingezogen hast. unglücklich

Außerdem hast du irgendwo einen Rechenfehler.

Bleib doch erstmal bei $\begin{eqnarray*} |\sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2}| \end{eqnarray*}$ , multipliziere aus und fasse zusammen.

03.01.2011, 19:33

HTCC1987

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|sqrt((a^4 - 2a^2*b^2+b^4)+4*a^2*b^2))

|sqrt(a^4 + b^4 + 2a^2*b^2)|

03.01.2011, 19:36

Iorek

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Jetzt schreiben wir das noch um als $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4} \end{eqnarray*}$ , wenden wieder die binomische Formel an und sind fast fertig.

Das einzige was wir noch machen müssen ist mit Hilfe der Definition des Betrages $\begin{eqnarray*} |a+ib|^2 \end{eqnarray*}$ einfach auszuschreiben.

03.01.2011, 19:40

HTCC1987

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als binom
|(a^2 + b^2)^2|

hmm das was du danach machen willst verstehe ich nicht ganz,sorry

03.01.2011, 19:45

Iorek

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Statt der Betragsstriche würde ich eine Wurzel schreiben, den Betrag haben wir doch gerade aufgelöst. Dann fällt auch noch etwas weg.

Löse bei $\begin{eqnarray*} |a+ib|^2 \end{eqnarray*}$ streng nach Definition den Betrag auf und quadriere danach.

03.01.2011, 19:52

HTCC1987

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sqrt((a^2+b^2)^2)= |a+ib|^2
'' = |sqrt(a^2+b^2)|^2
'' = |a+b|^2

03.01.2011, 19:58

Iorek

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Wo kommen hier die Betragszeichen wieder her? Du sollst doch noch gar nicht die Gleichung zeigen und dabei die noch nicht bewiesene Behauptung verwenden! böse

Und deine Umformungen kann ich auch nicht nachvollziehen bzw. sie sind sogar falsch, $\begin{eqnarray*} |a+b|^2 \end{eqnarray*}$ kommt da nämlich nicht raus.

Wir sind jetzt soweit: $\begin{eqnarray*} |(a+ib)^2|=\sqrt{(a^2+b^2)^2}=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ . Nächster Schritt: $\begin{eqnarray*} |a+ib|^2 \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

03.01.2011, 20:04

HTCC1987

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|a + ib|^2 ist doch aber |sqrt(a^2+b^2)|^2 oder nicht

03.01.2011, 20:06

Iorek

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Die Betragszeichen fallen weg. Und damit bist du auch schon fertig.

03.01.2011, 20:09

HTCC1987

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Dankeschön, und ich entschuldige mich für meine Begriffsstutzigkeit Augenzwinkern