Grenzwert sinus, cosinus etc

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03.01.2011, 18:46	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert sinus, cosinus etc Hallo, hab ein paar Probleme mit folgenden Aufgaben: a) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 }~{\frac{sin(x)}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 }~{\frac{sin(sin(x))}{x}} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 }~{\frac{sin(cos(x))}{cos(x)}} \end{eqnarray}$ So richtig gute Ansätze hab ich leider noch nicht... Man kann ja auf jeden Fall die regel $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 0 }~{\frac{sin(z)}{z}}=1 \end{eqnarray}$ nutzen. Allerdings hab ich keine Ahnung wie man die Brüche so umformen kann, dass einem die regel was bringt. Hatte bei a) schon an eine Substitution gedacht, dass man für $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ einfach z annimt. dann hat man ja (falls das so stimmt): $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 0 }~{\frac{sin(z^2)}{z}} \end{eqnarray}$ so und da hänge ich dann mal wieder... wär super wenn ihr mir helfen könntet. lg eila
03.01.2011, 18:52	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus, cosinus etc Ich weiß nicht ob dir der Satz von l'hôspital etwas sagt jedoch könnte er hier bei dir Anwendung finden. Laut l'hôspital kannst du die Ableitung vom Zähler und dem Nenner bilden, wenn du 0/0 herausbekommst,wenn du deine Zahl einsetzt gegen die x geht....Vielleicht hilft dir das weiter
03.01.2011, 19:22	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus, cosinus etc ah, ok. hab das jetzt mal probiert: für a) bekomme ich dann $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 }~{cos(x)2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ und das ergibt ja dann 0. Ist das der richtige grenzwert? für b) bekomme ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 }~{cos(sin(x)cos(x))} \end{eqnarray}$ das ergibt wenn man 0 einsetzt 1. Kann man das noch schöner formulieren bzw kürzen? für c) hab ich dann $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0 }~{cos(cos(x))} \end{eqnarray*}$ und das ergibt wenn man 0 einsetzt 0,9998. Kommt mir allerdings komisch vor ^^
03.01.2011, 19:28	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus, cosinus etc mir ist grad aufgefallen, dass c falsch sein müsste. da sin(cos(0)) nicht 0 ergibt kann man hospital nicht anwenden oder doch?!
03.01.2011, 19:31	HTCC1987	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus, cosinus etc bei b) musst du mit der summenformel rechnen uv = u'v+v'*u bei c) auch
03.01.2011, 21:50	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus, cosinus etc muss man das nicht mit der kettenregel machen? ich dachte mir bei b), dass sin(u) mit u=sin(x) die äußere funktion und sin(x) die innere funktion ist. also bildet man doch eigentlich die äußere ableitung, also cos(u) und die innere ableitung cos(x) und multipliziert sie. nun muss man noch u einsetzten und erhält: cos(sinx)*cos(x). dann hab ich einfach für x 0 eingesetzt... so hätte ich das jetzt einfach gemacht^^ wie geht das denn mit der produktregel? ist dann sin der eine wert und cos(x) der andere? ist die ableitung von sin cos? bin mir nicht sicher, weil dann ja kein x dahinter steht...
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03.01.2011, 23:49	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus, cosinus etc L'Hospital ist hier nicht angesagt. Betrachte stattdessen: $\begin{eqnarray} a)~\frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}=\frac 1{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b)~\frac{\sin(\sin(x))}{x}=\frac{\sin(\sin(x))}{\sin(x)}\cdot\frac{\sin(x)}x \end{eqnarray}$ und c) ist trivial
04.01.2011, 14:02	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus, cosinus etc dankeschön schonmal. allerdings bringt mich das immernoch nicht zum ergebnis... wie kann ich denn den grenzwert von $\begin{eqnarray} {\frac{1}{\sqrt{x}}} \end{eqnarray}$ berechnen? stehe da grad völlig auf dem schlauch... kann ich das einfach als $\begin{eqnarray} x^-0,5 \end{eqnarray}$ schreiben und dann 0 einsetzen??? bei b) bin ich mir nicht sicher...ist wegen $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}~{\frac{sin(x)}{x}}=1 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}~{\frac{sin(sin(x))}{sin(x)}}=1 \end{eqnarray}$ ? kann man bei c) dann gleich sagen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}~{\frac{sin(cos(x))}{cos(x)}}=1 \end{eqnarray}$ ?
04.01.2011, 14:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Manni Feinbein hat recht. Allerdings hat er sich bei a) vertan. Und daß c) trivial ist, hat er auch schon gesagt. Du hast jedoch nicht richtig gerechnet.
04.01.2011, 15:26	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
wär gut, wenn jemand einen tip hätte. komme so nicht weiter...
04.01.2011, 21:20	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
könntest du vllt sagen wo genau der fehler liegt? würde mir schon helfen...
08.01.2011, 11:40	eila	Auf diesen Beitrag antworten »
muss leider nochmal fragen: wäre es möglich die a) und die b) mit hospital zu lösen? ne bessere idee hab ich leider nicht. langsam wird es dringend mit der lösung ;-)

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