f^2=id f diagonalisierbar beweisen

03.01.2011, 18:48

MichaelJackson

f^2=id f diagonalisierbar beweisen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{n}-->\mathbb R^{n}, f^{2}=id, \end{eqnarray*}$ beweise, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$
diagonalisierbar ist.

Meine Ideen:
Also es ist $\begin{eqnarray*} f=f^{-1} \end{eqnarray*}$
somit denke dies impliziere $\begin{eqnarray*} f=id \end{eqnarray*}$ bin mir aber überhaupt nicht sicher, ob dies so allgemein für einen Endomorphismus gilt.

Gruss
MichaelJackson

03.01.2011, 18:50

Iorek

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Wieso sollte $\begin{eqnarray*} f=f^{-1} \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

Überlege was dir $\begin{eqnarray*} f^2=\operatorname{id} \end{eqnarray*}$ über das charakt. Polynom sagt.

Edit: Statt dem charakt. Polynom meine ich natürlich das Minimalpolynom.

03.01.2011, 19:35

MichaelJackson

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Ok ich hatte wohl fälschlicherweise angenommen, dass eine lineare Abbildung immer injektiv ist.
Das Minimalpolynom kann nicht $\begin{eqnarray*} T^{2} \end{eqnarray*}$ sein,
wäre es $\begin{eqnarray*} T^{3} \end{eqnarray*}$ so wäre $\begin{eqnarray*} f(id)=o<br /> \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ wäre es $\begin{eqnarray*} T^{4}<br /> \end{eqnarray*}$ so wäre $\begin{eqnarray*} f^{4}=id=o \end{eqnarray*}$ etc. aber wäre $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ so wäre $\begin{eqnarray*} f^{2}\neq id \end{eqnarray*}$ somit denke ich das Minimalpolynom wäre $\begin{eqnarray*} <br /> T^{2}-I \end{eqnarray*}$ damit wäre f diagonalisierbar, da die Vielfachheit im Minimalpolynom immer 1 ist.

Ist das so richtig?

03.01.2011, 19:39

Iorek

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Ich weiß gerade nicht ganz wie du auf das (richtige) Minimalpolynom gekommen bist...es ist doch einfach $\begin{eqnarray*} f^2=\operatorname{id}\Leftrightarrow f^2-\operatorname{id}=0\Rightarrow \mu_f(x)=x^2-1 \end{eqnarray*}$ .

Was für einen Satz kennst du, der eine Verbindung zwischen Diagonalisierbarkeit und Minimalpolynom herstellt?

03.01.2011, 19:55

MichaelJackson

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Ein Endomorphismus ist genau dann diagonalisierbar, wenn jede Vielfachheit seines Minimalpolynoms eins ist.

Dies ist hier der Fall.

03.01.2011, 19:58

Iorek

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Wenn du noch schnell begründest, warum das der Fall ist, sollte das so in Ordnung sein. smile

03.01.2011, 20:12

kiste

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Zitat:

Original von Iorek
Ich weiß gerade nicht ganz wie du auf das (richtige) Minimalpolynom gekommen bist...es ist doch einfach $\begin{eqnarray*} f^2=\operatorname{id}\Leftrightarrow f^2-\operatorname{id}=0\Rightarrow \mu_f(x)=x^2-1 \end{eqnarray*}$ .

Es folgt lediglich $\begin{eqnarray*} \mu_f \mid x^2-1 \end{eqnarray*}$

03.01.2011, 20:17

Iorek

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Hmm, da hast du durchaus Recht, glaub ich hab mir die Aufgabe "vereinfacht" und eine weitere Bedingung eingebracht, danke. smile

Dann muss die Begründung ein klein wenig angepasst werden, ist allerdings auch nicht schwerer als die bisherige.

03.01.2011, 20:48

MichaelJackson

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Aber es ist doch $\begin{eqnarray*} x^{2}-1=(x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ also hat das Minimalpolynom als Teiler davon sicherlich auch nur Mehrfachheiten 1.
Die Begründung weis ich nicht wirklich, ich weis, dass bei der zugehörigen Jordanischen Normalform zu jedem Eigenwert das grösste Kästchen des Jordanblocks die Grösse der Vielfachheit im Minimalpolynom hat, also hier eins, somit wäre eine Matrixdarstellung von f ähnlich zu einer Diagonalmatri

03.01.2011, 20:54

Iorek

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Ja, ich habe etwas zu schnell geschlossen, wie kiste schon geschrieben hat ist das Minimalpolynom lediglich ein Teiler. Dann haben wir die Fälle entweder $\begin{eqnarray*} \mu(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mu(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mu(x)=(x+1)(x-1) \end{eqnarray*}$ . Für jeden Fall erhältst du die Aussage, dass die Matrix diagonalisierbar ist.

03.01.2011, 20:57

MichaelJackson

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Ok besten Dank für die gute Hilfe!

Gruss
MichaelJackson

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