Ungleichung mit Exponentialfunktion und Folgen - Seite 2

09.01.2011, 17:23

Wraith720

Und wie kann ich nun das
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty }\sqrt[n]{\frac{n!}{n^ne^{-n} } }= 1 \end{eqnarray*}$
folgern?

09.01.2011, 17:38

René Gruber

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Die Doppelungleichung

Zitat:

Original von Milchmädchen
$\begin{eqnarray*} e(\frac{n}{e})^{n} \leq n! \leq ne(\frac{n}{e})^{n} \end{eqnarray*}$

multipliziert mit der positiven Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{e^n}{n^n} \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} e \leq \frac{n!}{n^ne^{-n}} \leq en \end{eqnarray*}$ ,

woraus man die n-te Wurzel ziehen kann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{e} \leq \sqrt[n]{\frac{n!}{n^ne^{-n}}} \leq \sqrt[n]{en} \end{eqnarray*}$ .

Schon mal vom Sandwich-Lemma gehört? (oder auf deutsch: Einschnürungssatz)

09.01.2011, 18:09

EnteWurzel

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Die Behauptung ist: $\begin{eqnarray*} e(\frac{n}{e})^{n} \leq n! \leq ne(\frac{n}{e})^{n} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist ja nur gesagt, dass das ganze Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} e^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Allerdings soll ja am Ende $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ und nicht < dort stehen.
Kann man also alle Umformungen mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ durchführen?

Demnach würde aber am Anfang $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \leq e^{n-1} \end{eqnarray*}$ dort stehen.

10.01.2011, 07:53

klarsoweit

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Natürlich. Wenn etwas "kleiner als ..." ist, dann ist es erst recht "kleiner-gleich ..." .

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