Ungleichung mit Exponentialfunktion und Folgen

03.01.2011, 19:51

Milchmädchen

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Ungleichung mit Exponentialfunktion und Folgen

Hi!
Ich bin neu hier und bräuchte dringend Hilfe bei einer Aufgabe.
Vieles habe ich schon vesucht, doch alle Ansätze führten ins Nichts. Also wäre ich für einen kleinen Denkanstoß sehr dankbar.

Beweisen sie:
1. Für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e(\frac{n}{e})^{n} \leq n! \leq ne(\frac{n}{e})^{n} \end{eqnarray*}$
Zeigen sie zunächst für n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2
Produktzeichen (Index von v=1 bis n-1) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{v})^{v}=\frac{n^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ UND
Produktzeichen (Index von v=1 bis n-1) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{v})^{v+1}=\frac{n^{n}}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{n!}{n^ne^{-n} } }= 1 \end{eqnarray*}$
(rudimentäre Form der Stirlingschen Formel)

Ja, also Ideen hab ich keine richtigen. Für Ansätze wäre ich also sehr dankbar!

03.01.2011, 20:54

Math1986

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RE: Ungleichung mit Exponentialfunktion und Folgen
Das Produktzeichen in Latex kannst du als \prod darstellen...

Zeige zunächst für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v=\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^{v+1}=\frac{n^n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Der Beweis hierfür läuft über vollständige Induktion und geschicktes Umformen

Dann zeigst du damit
Für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^n \leq n! \leq n\cdot e\cdot\left(\frac{n}{e}\right)^n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty }\sqrt[n]{\frac{n!}{n^ne^{-n} } }= 1 \end{eqnarray*}$

Habe die letzten aber nur überflogen, konzentrier dich erstmal auf die ersten Gleichungen

04.01.2011, 15:30

Mathestudentin90

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Ich hänge auch an dieser Aufgabe. Habe den Induktionsanfang durchgeführt aber komm danach nie weiter

Induktionsanfang für n=2

$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v=\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

linke Seite: (1+1/v)^v = 2
rechte Seite: 2²/2! = 2

und das geiche hab ich auch für die andere Gleichung gemacht da kam jeweils 4 raus

Wenn ich aber jetzt mit n--> n+1 weitermache hänge ich beim Umformen

04.01.2011, 15:43

Math1986

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Zitat:

Original von Mathestudentin90
Ich hänge auch an dieser Aufgabe. Habe den Induktionsanfang durchgeführt aber komm danach nie weiter

Induktionsanfang für n=2

$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v=\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

linke Seite: (1+1/v)^v = 2
rechte Seite: 2²/2! = 2

und das geiche hab ich auch für die andere Gleichung gemacht da kam jeweils 4 raus

Ja, soweit ist das richtig Freude

Freude

Zitat:

Original von Mathestudentin90
Wenn ich aber jetzt mit n--> n+1 weitermache hänge ich beim Umformen

Der Schritt ist auch etwas unschöner, poste mal das, was du bisher schon hast, dann kann ich dir einen Tipp geben

04.01.2011, 15:53

Mathestudentin90

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n--> n+1

$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n+1-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$

= ( $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v) \end{eqnarray*}$

Ich weiß gar nicht wie ich nun vorgehen soll :-(

Ist das normal das man am Anfang kaum mit den Aufgaben klar kommt? Die Prüfung ist ja schon nächsten Monat und wenn ich die Vorlesungen durchlese verstehe ich kaum was...viele sagen nämlich immer dass das Verständnis erst später kommt, aber wie schafft man denn dann die Klausur?

04.01.2011, 16:05

Math1986

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Zitat:

Original von Mathestudentin90
n--> n+1

$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n+1-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$

= ( $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v) \end{eqnarray*}$

Ich weiß gar nicht wie ich nun vorgehen soll :-(

Soweit schonmal richtig
$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n+1-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v= \prod_{v=1}^n\left(1+\frac{1}{v}\right)^v=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$
Auf den rechten Faktorn kannst du dann die Induktionsannahme anwenden und weiterrechnen

Zitat:

Original von Mathestudentin90
Ist das normal das man am Anfang kaum mit den Aufgaben klar kommt? Die Prüfung ist ja schon nächsten Monat und wenn ich die Vorlesungen durchlese verstehe ich kaum was...viele sagen nämlich immer dass das Verständnis erst später kommt, aber wie schafft man denn dann die Klausur?

Kommt drauf an wo dein Problem liegt.. diese Aufgabe ist schon etwas aufwändiger, die kann ich auch nicht im Kopf rechnen, aber das grundliegende Prinzip der vollständigen Induktion solltest du anwenden können, und für diese Anwendung gibt es auch entsprechende Punkte

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04.01.2011, 16:28

Mathestudentin90

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Ok vielen Dank schonmal für die Hilfe...werde jetzt mal versuchen auf das Ergebnis zu kommen, ansonsten melde ich mich wieder :-)

04.01.2011, 20:02

Mathestudentin90

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Also ich habe nochmal nachgerechnet bis zu diesem Schritt schaff ich es jetzt immer bei den Aufgaben, aber wie gehe ich denn jetzt weiter vor? Jetzt beginnt soch erst das Umformen damit ich auf das Ergebnis komme und dieser Weg ist ja immer unterschiedlich :-(

04.01.2011, 22:29

Math1986

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Zitat:

Original von Mathestudentin90
Also ich habe nochmal nachgerechnet bis zu diesem Schritt schaff ich es jetzt immer bei den Aufgaben, aber wie gehe ich denn jetzt weiter vor? Jetzt beginnt soch erst das Umformen damit ich auf das Ergebnis komme und dieser Weg ist ja immer unterschiedlich :-(

Du musst an der Stelle, die ich gepostet habe, die Induktionsvoraussetzung anwenden, ein wenig geschickt umformen und dann auf das kommen, was du zeigen möchtest.

Poste mal das was du bisher erreicht hast, dann kann ich dir sagen was du machen musst.

Und mach dir mal klar, was für n+1 genau zu zeigen ist.

04.01.2011, 23:07

Manni Feinbein

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RE: Ungleichung mit Exponentialfunktion und Folgen
Hier: matheboard.de/thread.php?threadid=411753

wird dieses Thema auch behandelt.

05.01.2011, 11:11

Mathestudentin90

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Bisher habe ich nur folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} = (1+\frac{1}{n}) ^{n} * \prod\limits_{v=1}^n-1 (1+\frac{1}{v}) ^{v} = \frac{n^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

=> (nach Ind.-vor.) $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n} *\frac{n^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber gerade überhaupt nicht ob das stimmt und was ich da gemacht habe verwirrt

verwirrt

05.01.2011, 11:12

Mathestudentin90

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ups...die -1 an der einen Stelle gehört nicht dahin ist ein Schreibfehler

05.01.2011, 20:34

Mathestudentin90

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???

05.01.2011, 20:45

Mathestudentin90

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Also bin nochmal ein weig weitergekommen, aber wie mache ich denn an der Stelle hier weiter?

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+\frac{1}{n}) *n) ^n }{n!} \end{eqnarray*}$

Habe dazwischen ein paar Schritte jetzt nicht extra nochmal aufgeschrieben

05.01.2011, 22:16

Math1986

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Nur Geduld...

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right) ^n *\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$
ist richtig, nun nur noch geeignet umformen

Verwende dabei folgende Umformungszwischenschritte (und mach dir klar weshalb sie gelten)
Tipp 1:
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right) ^n=\frac{(n+1)^n}{n^n} \end{eqnarray*}$

Tipp 2:
Irgendwo musst du den bruch in Zäher und Nenner mit (n+1) erweitern

Versuch es mal mit dieser Hilfestellung alleine zu lösen

06.01.2011, 10:15

Mathestudentin90

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Bis dorthin bin ich gestern Abend auch gekommen :-)
Bin ja schonmal froh, dass das wenigstens stimmt.

Ich hätte jetzte

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n} }{n!} * \frac{(n+1)}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

gemacht, aber an dieser Stelle weiß ich nicht wie ich das weiter umformen soll...Ich muss ja wieder auf n^n / n! kommen am Schluss

06.01.2011, 11:43

Mathestudentin90

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Stimmt das bei dem zweiten Produktzeichen auch bis hierher?

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n+1} * \frac{n^{n} }{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{((1+\frac{1}{n})*n) ^{n}+ (1+\frac{1}{n}) }{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n}+ (1+\frac{1}{n}) }{n!} \end{eqnarray*}$

Und nun hänge ich an der gleichen Stelle fest wie auch bei dem ersten Produktzeichen ^^

Könnte mir jemand bei beiden weiterhelfen?

06.01.2011, 11:58

klarsoweit

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Jetzt bleiben wir erstmal bei dem:

Zitat:

Original von Mathestudentin90
Ich hätte jetzte

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n} }{n!} * \frac{(n+1)}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

gemacht, aber an dieser Stelle weiß ich nicht wie ich das weiter umformen soll.

Zitat:

Original von Mathestudentin90
Ich muss ja wieder auf n^n / n! kommen am Schluss

Da bist du im Irrtum. Du mußt auf $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ kommen, was mit etwas Potenzrechnung und Kenntnis der Fakultät auch kein Problem ist.

06.01.2011, 12:13

Mathestudentin90

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Auf den Zähler (n+1)^(n+1) komme ich noch. Muss ich nur umformen um im Nenner auf (n+1)! zu kommen oder so?

06.01.2011, 12:16

klarsoweit

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Im Nenner mußt du nur wissen, daß (n+1) * n! = (n+1)! ist.

Nach 3 Monaten Mathestudium kann man das eigentlich auch erwarten. smile

smile

06.01.2011, 12:21

Mathestudentin90

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Cool, dann hätte ich den Teil ja schon bewiesen...und der Teil von dem zweiten produktzeichen? Hat der bis dahin gestimmt? Muss ich dann auch wieder mit (n+1)/(n+1) erweitern?

06.01.2011, 12:56

Mathestudentin90

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folgt dan nicht aus

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n+1}* \frac{n^{n} }{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n!} \end{eqnarray*}$

und daraus wäre die doch auch bewiesen oder?

Und wen ich die beiden Produkte bewiesen habe durch vollständige Induktion muss ich doch nun irgendwie zeigen,

dass für alle neN gilt n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e(\frac{n}{e})^{n} \leq n! \leq ne(\frac{n}{e})^{n} \end{eqnarray*}$

Wie beweise ich das nun?

06.01.2011, 13:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathestudentin90
folgt dan nicht aus

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n}) ^{n+1}* \frac{n^{n} }{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n!} \end{eqnarray*}$

und daraus wäre die doch auch bewiesen oder?

Nun ja. Ein oder zwei Zwischenschritte wären schon nicht schlecht. smile

smile

Zitat:

Original von Mathestudentin90
Und wen ich die beiden Produkte bewiesen habe durch vollständige Induktion muss ich doch nun irgendwie zeigen,

dass für alle neN gilt n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e(\frac{n}{e})^{n} \leq n! \leq ne(\frac{n}{e})^{n} \end{eqnarray*}$

Wie beweise ich das nun?

Wir betrachten nun $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v=\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Jeder Faktor $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ ist kleiner als e. Also kannst du die linke Seite der obigen Gleichung nach oben abschätzen.

06.01.2011, 13:29

Mathestudentin90

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Ok,

Dann probier ich es mal.
Vielen Dank für die Hilfe Gott

Gott

Wink

06.01.2011, 19:06

Mathe-Newbie

Auf diesen Beitrag antworten »

aber eine frage

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right) ^n *\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

soweit alles klar..
jetzt wird mit n+1 erweitert

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n} }{n!} * \frac{(n+1)}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

ok im nenner steht dann (n+1)! und im zähler (n+1)^(n+1)
aber wo ist denn das n^n / n! hin ?

06.01.2011, 19:09

Mathe-Newbie

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry
ich mein natürlich
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right) ^n *\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Tipp 1:
$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n}\right) ^n=\frac{(n+1)^n}{n^n} \end{eqnarray*}$

soweit klar

und warum ist

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} *\frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

06.01.2011, 19:56

Herry90

Auf diesen Beitrag antworten »

das n^{n} kürzt sich weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2011, 19:02

Milchmädchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für eure Hilfe.
Ich hänge immernoch am Beweis des zweiten Produkts.
Und zwar bei diesem Schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n^{n+1}}* \frac{n^n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Ich soll ja nun irgendwie auf $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n!} \end{eqnarray*}$ kommen...
Aber irgendwie hänge ich. Wahrscheinlich ist es nun nicht mehr schwer...aber ja...Oder es ist oben schon ein Fehler drin -.-
Danke schonmal

07.01.2011, 19:04

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Milchmädchen
Ich hänge immernoch am Beweis des zweiten Produkts.
Und zwar bei diesem Schritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n^{n+1}}* \frac{n^n}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Ich soll ja nun irgendwie auf $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n!} \end{eqnarray*}$ kommen...

Zuerst kürzt du da $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ raus
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n}* \frac{1}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$

Dann weisst du, dass $\begin{eqnarray*} n\cdot (n-1)!=n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{n+1} }{n!} \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 19:21

Milchmädchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh gott...natürlich...danke. Manchmal ist man aber auch wirklich dumm -.-

So...jetzt muss ich ja noch diesen zweiten Teil zeigen.
In der Vorlesung hat man ja gelernt, dass $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{v})^v < e \end{eqnarray*}$ ist.
Dann kann man ja eigentlich sagen, dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{n!} < e \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Und damit kann man irgendwie den linken Teil dieser Ungleichung abschätzen)... Nur wie?

07.01.2011, 21:54

Milchmädchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich aus $\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{n!}<e \end{eqnarray*}$ schließen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{e} < n! \end{eqnarray*}$ ist?

Und daraus kann man dann schließen, dass $\begin{eqnarray*} e*(\frac{n}{e})^{n} < \frac{n^n}{e} < n! \end{eqnarray*}$

Ja und daraus dann, dass $\begin{eqnarray*} e*(\frac{n}{e})^{n} <n! \end{eqnarray*}$ ist.

Nee...macht irgendwie keinen Sinn, oder?

08.01.2011, 10:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung mit Exponentialfunktion und Folgen
Nun mal langsam. Du weißt, daß gilt:

$\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v = \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$

und daß $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{v}\right)^v < e \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt zähle mal, wieviele Faktoren $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ sich in dem Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ befinden.

08.01.2011, 14:33

EnteWurzel

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Leider komme ich mit dem Beweis der Ungleichung auch nicht klar.

Ich knüpfe einfach mal an die vorausgegangenen Sachen an:

In dem Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ befinden sich n-1 Faktoren der Art $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ .

Damit komme ich aber irgendwie nicht weiter. verwirrt

verwirrt

08.01.2011, 16:07

Milchmädchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja...mir geht es ähnlich... verwirrt

verwirrt

08.01.2011, 18:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von EnteWurzel
In dem Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ befinden sich n-1 Faktoren der Art $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ .

Ja, und jeder Faktor ist kleiner als e. Also ist das ganze Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^v \end{eqnarray*}$ kleiner als ... ?

09.01.2011, 00:01

Hoffnung

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Produkt ist doch dann kleiner als e^(n-1) und das ist gleich e^n/e ?

aber wie soll man das dann weiter umformen ?
man könnte die gleichung aufstellen

$\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{n!} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} e^n/e \end{eqnarray*}$ .

wenn man das dann auflöst indem man mit n! multipliziert und dann duen e^n/e
dividiert, erhält man n^n*e/e^n
jetzt das e vor den bruch und dann portenzgesetz anwenden?

dann müsste der linke teil der ungleichung da stehen. stimmt das ?

und wie würde man dann weiter machen ?

09.01.2011, 00:14

Hoffnung Teil II

Auf diesen Beitrag antworten »

geht das bei der anderne seite genauso ?

also $\begin{eqnarray*} \prod_{v=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{v}\right)^{v+1} \end{eqnarray*}$

enthält das ganze dann n-1 elemente die größer als e sind
und dann kann man sagen $\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{(n-1)!}<{e^{n-1}} \end{eqnarray*}$
wenn man das nach (n-1)! auflöst steht da:

$\begin{eqnarray*} {(n-1)!}<{e*{(\frac {n}{e})^n}} \end{eqnarray*}$

jetzt das ganze mal n, damit n! da steht
und dann passt das ?

oder ist das falsch Big Laugh

Big Laugh

?
bzw. stimmt die erste abschätzung überhaupt das
$\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{(n-1)!}<{e^{n-1}} \end{eqnarray*}$

THX

09.01.2011, 01:11

guest0815

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich geht das auf der anderen Seite gleich, ist meist immer gleiches Strickmuster

enthält das ganze dann n-1 elemente die größer als e sind

Du hast es ja richtig geschrieben, aber den Operator falsch gesetzt. Ich habe deinen Ausdruck mal umgeformt, also beide Seiten mit dem Nenner durchmultipliziert und damit kommst du auf ...

$\begin{eqnarray*} n^{n} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} (n-1)! \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{n-1} \end{eqnarray*}$

Lt. Behauptung sogar falsch, diviere es einfach mal durch den Term mit dem e und forme weiter um. Vergleiche es dann mal mit der Beh.

Mit n multiplizieren passt soweit, aber schau wegen der Abschätzung nochmal in deine Unterlagen, da gibt es mit Sicherheit eine Stelle, an der gesagt wird, dass e zwischen der monton wachesenden Folge

$\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

und der monoton fallenden Folge

$\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

eingeklemmt wird. Oder zumindest, dass diese Folgen mo wachsend und mon fallend sind, und gegen e konvergieren.

-> Wie gesagt, der Vergleichsoperator ist falsch gesetzt von dir, aber wohl richtig gedacht..

Ich hoffe mal, ich vertue mich jetzt nicht großartig.

09.01.2011, 12:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hoffnung
dann müsste der linke teil der ungleichung da stehen. stimmt das ?

Ja und das andere stimmt auch.

09.01.2011, 12:07

Milchmädchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh toll. Jetzt habe ich gestern so lange daran gegessen und komme hier hin gucken und sehe, dass ich es genauso gemacht habe.
Erstes Erfolgserlebnis seit langer Zeit Big Laugh

Big Laugh

Aber danke für eure Hilfe! Echt toll!

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