Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem

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V4ll3 Auf diesen Beitrag antworten »
Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem
Hallo,

dank euerer Hilfe konnte ich die letzten Aufgaben nachvollziehen. Hier eine neue Aufgabe:

2sin(x) - sin(2x) = 1 - cos(x)
2sin(x) - sin(2x) = 1 - cos(x/2 + x/2)
2sin(x) - sin(2x) = 1 - cos²(x/2) + sin²(x/2)
2sin(x) - sin(2x) = 1 - (1 - sin²(x/2)) + sin²(x/2)
2sin(x) - sin(2x) = + sin²(x/2) + sin²(x/2)
2sin(x) - sin(2x) = 2 sin²(x/2)
2sin(x) - sin(2x) - 2 sin²(x/2) = 0


An dieser Stelle weiß ich nicht wie ich weiter umformen soll. Gibt des die Möglichkeit Auszuklammern o.Ä.? Außerdem gesucht ist die Lösungsmenge.

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen,
Schöne Grüße V4ll3

PS: Sollte es eine Möglichkeit geben ohne Umformung direkt auf die Lösungsmenge schließen zu können, wäre es noch besser diesen Lösungsansatz erfahren zu dürfen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Umformungen stimmen. Mir scheint aber, du hast alles komplizierter gemacht, denn jetzt hast du drei Argumente: .
Ich erachte es für besser, am Anfang mit der bekannten Formel aufzulösen, so daß du als einziges Argument in der Gleichung hast.
Und dann muß man besonders scharf hinschauen, denn die Gleichung ist vom Typ . Und diese kann in einfacher Weise faktorisiert werden. Es lohnt sich, ein bißchen herumzuprobieren.
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem
eine lösung ist offensichtlich x = 0.

bist du sicher, dass die gleichung nicht

2sinx - sin2x = 1 - cosx

lautet?
V4ll3 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an euch Beide Freude

@riwe
In der Aufgabenstellung steht: 2sinx - sin2x = 1 - cosx
Hatte ich das dann falsch betrachtet und es heißt sin(2)*x ?

@Leopold
In wiefern bringt mich das Faktorisieren weiter?
Dann habe ich zwar im Argument der Funktionen nur die einfache Variable stehen, jedoch unterschiedliche Funktionen. Bisher war es meistens so dass das Ganze in einen quadratischen Term umgeformt werden konnte und mit der quadratischen Lösungsformel und dank der Quadrantenabfrage min. 2 meistens 3 Lösungen enstanden sind.

Wie komme ich durch deinen Ansatz auf die Lösungsmenge?

Eine Möglichkeit wäre glaube ich nach b umzuformen und in die Ausgangsform einzusetzen, aber das ist doch umständlicher, oder irre ich mich?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von V4ll3
In wiefern bringt mich das Faktorisieren weiter?


Ein Produkt wird 0 genau dann, wenn mindestens ein Faktor 0 wird. Eine Produkt-Gleichung zerfällt damit in zwei durch "oder" verbundene Gleichungen für die Faktoren des Produkts.

Zitat:
Original von V4ll3
Bisher war es meistens so


Das Leben hält manche Abwechslung bereit ... Augenzwinkern
V4ll3 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Leopold Big Laugh Hatte gar nicht mehr an den Satz vom Nullprodukt gedacht.

Damit wäre das Problem gelöst smile
corvus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem
Zitat:
Original von V4ll3
Hier eine neue Aufgabe:

2sin(x) - sin(2x) = 1 - cos(x)
.

na ja .. da kannst du doch - wie oben doch schon angedeutet -
viel einfacher überlegen:

2sin(x) - sin(2x) = 1 - cos(x)

2sin(x) - 2sin(x)*cos(x) = 1 - cos(x)

2sin(x)*[ 1 - cos(x) ] = 1 - cos(x)

[ 2sin(x) - 1 ] * [ 1 - cos(x) ] = 0

und jetzt beginne zu hirnen:
wann hat ein Produkt den Wert 0 verwirrt
usw..
usw.
.................................... smile


oh, sorry, Leopold, dachte, du bist off..

und dazu: "Damit wäre das Problem gelöst" .. und wie heissen denn nun die Lösungen?
V4ll3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem
Also ich komme auf x=2 pi k, k element Z
corvus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem
Zitat:
Original von V4ll3
Also ich komme auf x=2 pi k, k element Z

smile das ist doch schon mal ein guter Anfang ..

und mach nun weiter:
wie sehen all die anderen Lösungen, die es auch noch gibt, aus?

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem
Zitat:
Original von V4ll3
Also ich komme auf x=2 pi k, k element Z


Womit du einen Faktor des Nullprodukts abgehandelt hast. Und der andere?

Zitat:
Original von corvus
oh, sorry, Leopold, dachte, du bist off..


Macht nichts. Ich bin da nicht so empfindlich. Ich mische mich bei andern ein, wie ich auch damit rechne, daß andere sich bei mir einmischen. Entscheidend ist doch nur, ob es sich um einen fundierten Beitrag handelt. Nur Geschwätz und eitles Getue kann ich nicht ertragen.
V4ll3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Goniometrische Gleichung: Umformungsproblem
Für 2sin(x)-1=0:

x= 1/6 (12pi k + pi) , k element Z
x= 1/6 (12pi k + 5pi), k element Z
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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