Fragen zum Taylor-Polynom

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04.01.2011, 15:15	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zum Taylor-Polynom Hallo, habe ein paar Verständnisprobleme. Leider bin ich mir da nicht ganz sicher. Die Aufgabenstellung lautet: Bilde das 3. Taylorpolynom von f(x)= cos(x) im Entwicklungspunkt x0=0 und geben Sie das Restglied an (R3x) 1. Ist 3. Taylorpolynom nur bis zu den ersten 3 Ableitungen oder muss ich 3 Näherungen an die cos-Funktion haben? Beim Cos fallen ja die ungeraden Ableitungen weg... 2. Die Formel für das Restglied ist ja: $\begin{eqnarray} \frac{f^{n+1}c}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray}$ - Was muss ich da jetzt für das c einsetzen? - Nehme ich da jetzt für n+1 die nächste existierende nicht Konstante Ableitung oder einfach die nächste, die ja unter Umständen im Entwicklungspunkt x0=0 ist
04.01.2011, 18:24	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1). Du nimmst die ersten drei Ableitungen. Wenn das zufällig Null wird - egal. Dann ist das eben so. Zu 2). Du setzt für das c gar nichts ein. Man kennt es nicht, man weiß nur, dass es zwischen dem Entwicklungspunkt und x liegt. Siehe dazu auch: [Artikel] Taylorapproximation
05.01.2011, 13:55	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
so. ich habe mich jetzt mal daran versucht. als lösung für das taylor polynom habe ich: $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{2}x^{2}+Rn \end{eqnarray}$ Das restglied wäre ja dann einen Grad höher, also: $\begin{eqnarray} Rn= \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} = \frac{f^{4}(c)}{ 4!} * (x)^{4} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie c>0 so, dass $\begin{eqnarray} \| R_3(x) \| \leq 10^{-4} \end{eqnarray*}$ für alle x aus (-c,c) gilt. Muss ich jetzt das C so wählen, dass das Polynom vom Betrag möglichst klein wird? Wenn ja wie gehe ich am Besten vor?
06.01.2011, 15:05	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist mit der 4. Ableitung? Wie groß ist sie maximal (betragsmäßig)? Hier bekommt man eine Abschätzung hin, die unabhängig von c ist. Und wann wird x^4 am größten im Intervall (-c,c)?
06.01.2011, 22:06	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Aufgabenstellung leider garnicht so wirklich. Größer als das was da steht kann sie doch garnicht werden?
06.01.2011, 23:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck dir dazu mal meinen Artikel an: [Artikel] Taylorapproximation Und dann frage dich, wie groß der maximale Fehler ist - das erkläre ich dort an einem anderen Beispiel. Dann sind wir schon fast an der Lösung. Schätze also das Restglied ab und gib an, wie groß es (in Abhängigkeit von x) maximal wird.
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07.01.2011, 11:36	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 4. Ableitung wäre wieder Cos(x), der Wertebereich von Cos(x) ist maximal 1. Das heißt, dass der Fehler maximal $\begin{eqnarray} \frac{1}{4!}x \end{eqnarray}$ sein kann. $\begin{eqnarray} \frac{x}{24} \end{eqnarray*}$ Stimmt das soweit?
07.01.2011, 11:52	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, aber das ist sicher nur ein Flüchtigkeitsfehler. x^4 muss es heissen, oben war das noch richtig. Und jetzt die nächste Frage: Für welches x aus (-c,c) wird dieser Term am größten?
07.01.2011, 12:13	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau x^4 habe ich gemeint... Vom Betrag her bei x=0 x=pi oder x=2pi usw. Wenn ich diese X-Werte in die Cosinusfunktion einsetze, habe ich den größtmöglichen Wert, nämlich 1.
07.01.2011, 14:45	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben bereits abgeschätzt, es kommt in dem Term, den wir betrachten, kein Cosinus mehr vor. Du hast richtig gesagt: $\begin{eqnarray} \|R_3(x)\| \leq \frac{1}{24} \cdot x^4 \end{eqnarray}$ . Jetzt war die Frage, wann dieser Term am größten wird (in (-c,c)).
07.01.2011, 18:31	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Betrag von c größer wird, dann wird der Gesamtterm größer oder nicht?
07.01.2011, 18:46	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Also kann dieser Term für alle x aus (-c,c) nicht größer als was werden? Nicht größer als 1/24c^4. Es folgt also insgesamt: $\begin{eqnarray} \|R_3(x)\| \leq \frac{1}{24} c^4 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in (-c,c) \end{eqnarray}$ . Und dieser Term soll also kleiner $\begin{eqnarray} 10^{-4} \end{eqnarray*}$ sein. Jetzt musst du das nur noch nach c auflösen.
07.01.2011, 19:57	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. wenn ich das richtig verstehe meinst du das so: $\begin{eqnarray} \frac{1}{24}c^{4}=10^{-4} \end{eqnarray}$ ich bringe den bruch auf die rechte seite, also durch 1/24 $\begin{eqnarray} c^{4}=2,410^{-3} \end{eqnarray}$ dann noch die 4. Wurzel ziehen $\begin{eqnarray} c=\sqrt[4]{ 2,410^{-3}}= 0,22133 \end{eqnarray}$ War das so gemeint?
07.01.2011, 20:30	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so war das gemeint.
07.01.2011, 20:32	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dann werde ich das mal so auf die Aufgabe anwenden!
09.01.2011, 16:16	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
noch eine kurze frage. wenn ich als 4. ableitung eine funktion hätte von einem wertebereich von angenommen -5 bis 5, muss ich dann 5/n! annehmen?
09.01.2011, 16:21	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
5/(4!), wenn wir n sofort einsetzen. Aber du hast es verstanden, genau!
09.01.2011, 16:31	Olli85	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke.

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