Stetigkeit von Funktionen kleine aufgabe |
| 04.01.2011, 15:25 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stetigkeit von Funktionen kleine aufgabe ich muss auf einem Ü-blatt die Stetigkeit der Funktion f : R2 -> R; f(x1; x2) := x1 + x2; zeigen Ferner ist R mit der euklidischen Metrik und R2 mit der von der Maximumnorm induzierten Metrik versehen. Kann mir vielleicht einer weiterhelfen?? man muss die Stetigkeit wohl mit dem Folgenkriterium oder Epsilon-Delta-Kriterium beweisen. Bei einfachen Funktionen in R habe ich auch keine Probleme aber mit dem R2 komm ich grad nicht klar. Wär sehr nett! Danke |
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| 04.01.2011, 15:31 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schreib doch erstmal hin, was epsilon-delta für deine Funktion und die entsprechenden Metriken bedeutet. |
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| 04.01.2011, 15:56 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nja mit dem e-d Kriterium würde dass ungefähr so ausschauen Sei e>0 und ein x Element R2 gegeben. Dann lautet ja allgemein dass Kriterium für alle y mit |x-y| < d gilt |f(x)-f(y)| < e Aber ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das mit der maximumnorm schreiben soll. Sei nun ||x-y||= max|xi - yi| < d f.a i =1,2 Dann folgt daraus für |f(x)-f(y)| = |x1+x2 - y1 + y1| soweit richtig? Aber irgendwie muss ich ja jetz diesen betrag abschätzen bzw die maximumsnorm also dass delta mit reinbringen um später auch delta angeben zu können... kann man vielleicht sagen: |x1+x2 - y1 + y1| <= max|xi - yi| < d = e mit d = e aber dann wär die aufgabe ja richtig billig^^ Danke |
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| 04.01.2011, 16:06 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein wenig verwirrend aufgeschrieben , besser : Sei , dann ist zu zeigen, dass für alle Epsilon > 0 ein Delta exisitert mit mit und edit :
Es geht recht ähnlich, aber nicht so wie Du es machst. Als Hinweis : Denk mal an die Dreiecksungleichung. |
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| 04.01.2011, 16:44 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok schonmal danke für den Tipp! Dann versuche ich nochmal mein glück 
Sei nun d= e/2 Dann gilt für ||f(x0,y0) - f(x,y)|| = |x0 + y0 - x -y| = |x0 - x + y0 - y| <= |x0 - x| + |y0- y| <= 2 max { |x0 - x| , |y0 - y| } < 2 d := e gut ich denke/hoffe dass musste jetzt passen!? vielen dank! hab mir irgendwie unter der maximumnorm was völlig falsches vorgestellt aber jetz habe ich dass echt kapiert glaub ich danke! |
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| 04.01.2011, 18:24 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig! 
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| 04.01.2011, 19:02 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank! ich hätte dann noch eine kleine grundsätzliche frage wenn wir schonmal dabei sind
und zwar handelt es sich um abschnittsweise definierte funktionen z.b f(x) = x+1/x-1 für x element[-1;1[ und f(x) = 5 für x element ]1, 2] Diese Funktion ist natürlcih im Punkt x= 1 unstetig aber dieser Punkt ist ja nicht in der Defintionsmenge enthalten. Wenn jetzt nach der Stetigkeit dieser Funktion gefragt ist ist diese dann stetig oder unstetig? |
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| 05.01.2011, 08:28 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Funktion ist stetig, wenn sie in allen Punkten ihres Definitionsbereiches stetig ist. |
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