divergent/konvergente Folgen

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Mathestudentin90 Auf diesen Beitrag antworten »
divergent/konvergente Folgen
Hallo,

Bei folgender Aufgabe finde ich einfach keinen Ansatz:

1)Cauchyscher Grenzwertsatz
Die Folge habe den Grenzwert a. Beweisen Sie:



2) Gibt es eine divergente Folge derart, dass konvergent ist?
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, das ist doch ganz einfach ... da muss man doch nur ein wenig mit der "Epsilontik" spielen ...

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem epsilon ein n0 gibt mit



für alle n > n0.

Aus



folgt doch, dass es ein n0 gibt mit



für alle n > n0

Und nun spalten wir einfach die Summe in zwei Teile auf:





Na, und wenn man das jetzt nur noch richtig auswertet, dann ist der Beweis schon erbracht ...

Nun zu deiner zweiten Frage:

Zitat:
2) Gibt es eine divergente Folge ...


Wir haben gerade bewiesen, dass das arithmetische Mittel einer konvergenten Folge konvergiert (und zwar gegen denselben Grenzwert).

Nun wollen wir zeigen, dass die Umkehrung nicht gilt. Dass es also eine Folge gibt, deren arithmetisches Mittel konvergiert, die aber selbst divergent ist.

Na, wie wäre es denn mit der Folge



Aber ich kann mich natürlich auch irren ... Big Laugh
Mathestudentin90 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schonmal

Wie kommst du denn bei Teil ii) auf die Folge:
?

Muss ich das nicht irgendwie beweisen?
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Muss ich das nicht irgendwie beweisen?


Na, klar musst du folgendes zeigen:

1. Die Folge



ist divergent.

2. Das arithmetische Mittel der Folge, also



ist konvergent (und zwar gegen 0).

Zusammen mit dem Teil 1 deiner Aufgabe hat man damit gezeigt, dass aus der Konvergenz der Folge, die Konvergenz des arithmetischen Mittels folgt. Dass aber umgekehrt aus der Konvergenz des arithmetischen Mittels nicht unbedingt die Konvergenz der Folge folgt.
Wraith720 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es auch eine monotone divergente Folge derart, dass konvergent ist?
SG Wraith720
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