Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium

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Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium
Hallo!

Ich soll zeigen, dass das Polynom in irreduzibel ist. Das soll mit dem Reduktionskriterium und mit / 2 klappen.

Ich habe nun das Problem, dass ich mit diesem Kriterium noch nicht zurecht komme, da ich zum Beispiel immer noch nicht verstanden habe, was dieses / 2 wirklich ist bzw wie man damit rechnet.

Ich weiß das / 2 gilt, aber auch damit kann ich dann nicht weiter rechnen. Angeblich soll dann dabei rauskommen, aber ich versteh nicht, wie man darauf kommt. Vielleicht kann mir das jemand Schritt für Schritt erklären?

Und selbst wenn ich jetzt erst mal als gegeben hinnehmen würde, komme ich wegen der Irreduzibilität nicht weiter.

Ich hoffe, jemand kann für mich Licht ins Dunkle bringen smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium
Du betrachtest die Koeffizienten deines Polynoms einfach in der Restklasse modulo 2,

also der Koeffizient von ist

der Koeffizient von ist usw.

Dann überprüfst du, ob das Polynom Nullstellen in hat.
 
 
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium
Zitat:
Original von lgrizu
Du betrachtest die Koeffizienten deines Polynoms einfach in der Restklasse modulo 2,

also der Koeffizient von ist

der Koeffizient von ist usw.


Das habe ich versucht, , , und verstehe ich auch, da habe ich für mod 2 überall 1 raus. Aber mit Koeffizient 2 müsste dann bei mod 2 doch 0 sein oder?

Dann hätte ich raus?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium
Zitat:
Original von Claudia105
Ich soll zeigen, dass das Polynom in irreduzibel ist. [...]
Angeblich soll dann dabei rauskommen [...]

Gerechnet habe ich jetzt nichts, aber das hier passt nicht zusammen. -2 modulo 2 ist nicht 1. Entweder hast du also das Polynom falsch abgeschrieben, oder die angebliche Lösung stimmt nicht.

Edit: ah, es ist schon aufgefallen.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom irreduzibel? Beweis mit Reduktionskriterium
Zitat:
Original von Mulder
Gerechnet habe ich jetzt nichts, aber das hier passt nicht zusammen. -2 modulo 2 ist nicht 1. Entweder hast du also das Polynom falsch abgeschrieben, oder die angebliche Lösung stimmt nicht..


Dann ist ja vielleicht mein richtig?

Falls ja, kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich da die Nullstellen rausbekomme und was ich wegen dabei beachten muss?

Bzw darf da überhaupt eine Nullstelle rauskommen? ich bin jetzt gerade über den Zusammenhang zwischen Nullstelle und irreduzibel verwirrt. War es nicht so, dass das Polynom nur irreduzibel ist, wenn es keine Nullstelle gibt?

Edit: Polynomdivison hat bisher nichts gebracht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, offenbar ist 1 eine Nullstelle, womit du in der Tat nichts erreicht hast (siehe letzten Beitrag von Mulder).
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Nun, offenbar ist 1 eine Nullstelle, womit du in der Tat nichts erreicht hast (siehe letzten Beitrag von Mulder).


Bei f = ist 1 eine Nullstelle? geschockt Ich war ja dafür, dass sie vielleicht keine hat, und deswegen irreduzibel ist. Aber ich weiß es nicht verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind in . Und da gilt .
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, da hab ich nicht dran gedacht ... hm, wenn ich eine Nullstelle habe ist es ja nicht irreduzibel oder?

Hat dann jemand eine andere Idee, wie ich es lösen kann? Es muss auch nicht über das Reduktionskriterium sein. Ich hatte nur den Tipp bekommen und wir haben gerade dieses Kriterium und das Eisensteinkriterium gehabt und das erste Polynom ließ sich mit Eisenstein beweisen, deshalb dachte ich, dass nun das Reduktionskriterium dran wäre.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier durch Zufall auch einen Lösungsvorschlag gefunden.

[attach]17389[/attach]

Aber ich hätte es lieber mit dem Reduktionskriterium oder dem Eisensteinkriterium gelöst, falls mir jemand da sagen könnte, wie es geht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Reduziere modulo 3. Das reduzierte Polynom hat keine Nullstellen. Es könnte dann noch in quadratische Faktoren zerfallen. Jetzt muß man die Polynomdivision durch die drei normierten quadratischen irreduziblen Polynome modulo 3 ausprobieren.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp!

Gilt denn auch: / 3 ansonsten weiß ich nämlich nicht, wie ich das auf mein Polynom anwenden kann.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und am besten rechnest du mit als den Restklassenvertretern.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das Polynom modulo 3 dann ?

Bin mir besonderns bei -2x = +2x mod 3 nicht sicher.


Kann ich dann jetzt versuchen einen Linearfaktor zu finden? und wende ich dann hinterher an dass ich in bin oder muss ich das gleich irgendwie berücksichtigen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Immer alle Dreierschritte weiter bekommt man einen Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse. Modulo 3 ist also das Polynom



zu untersuchen. Jetzt setzt man die drei möglichen Werte ein und stellt fest, daß keiner eine Nullstelle ist.

Beispiel:

(rechne in )

Daher kann das Polynom keinen Linearfaktor abspalten. Es könnte also höchstens in zwei irreduzible quadratische Polynome zerfallen. Da es auf einen konstanten Faktor nicht ankommt, darf man die Polynome als normiert annehmen. Wenn ich mich nicht vertan habe, gibt es davon drei Stück. Eines ist . Wie lauten die beiden andern?
Und jetzt mußt du einfach ausprobieren, ob die Polynomdivision durch eines dieser drei Polynome aufgeht (auch hier wieder in rechnen). Wenn ja, hast du Pech gehabt. Wenn nein, dann muß selber irreduzibel sein.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine lange Antwort.

Bevor ich das versuche habe ich noch eine Frage:

Laut der Definition vom Reduktionskriterium wähle ich ein p , das Primelement ist und nicht den höchsten Koeffizienten teilt. Bei deiner Idee ist p = 3.

Darf nun 3 nicht den Koeffizienten teilen, der vor der Variable mit dem höchsten Exponten steht (also hier oder den größen Koeffizienten also ?

Ich vermute mal das erste, denn beim letzte würde es ja nicht klappen. Allerdings habe ich das nicht aus der Definition herausgelesen, daher wollte ich das für mein Verständnis noch mal klären.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Claudia105
Darf nun 3 nicht den Koeffizienten teilen, der vor der Variable mit dem höchsten Exponten steht (also hier .


So ist es.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

@lgrizu: Danke, habe ich mir gleich mal neben die Definition geschrieben smile


Zitat:
Original von Leopold


Immer alle Dreierschritte weiter bekommt man einen Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse. Modulo 3 ist also das Polynom



zu untersuchen. Jetzt setzt man die drei möglichen Werte ein und stellt fest, daß keiner eine Nullstelle ist.

Beispiel:

(rechne in )
Daher kann das Polynom keinen Linearfaktor abspalten.



Bis hierhin konnte ich alles nachvollziehen. Aber das andere ist mir nicht mehr so klar.

Zitat:
Original von LeopoldEs könnte also höchstens in zwei irreduzible quadratische Polynome zerfallen. Da es auf einen konstanten Faktor nicht ankommt, darf man die Polynome als normiert annehmen. Wenn ich mich nicht vertan habe, gibt es davon drei Stück. Eines ist . Wie lauten die beiden andern?


Normiert ändert doch nichts, da unser Polynom unter mod 3 schon normiert ist.
Wie bist du auf das quadratische Polynom gekommen? Das weiß ich leider nicht, daher kann ich auch die anderen 2 nicht bestimmen.


Zitat:
Original von LeopoldUnd jetzt mußt du einfach ausprobieren, ob die Polynomdivision durch eines dieser drei Polynome aufgeht (auch hier wieder in rechnen). Wenn ja, hast du Pech gehabt. Wenn nein, dann muß selber irreduzibel sein.


Hier jetzt unser Polynom unter mod 3 durch die 3 noch zu bestimmenden Polynome teilen?
Mit klappt es schon mal nicht, also die Divison geht nicht aus.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, die drei normierten Polynome, die Leopold meint sind die drei Polynome vom Grad 2, die nicht in linearfaktoren über zerfallen, ist dir klar, warum?

Wenn die Polynome in Linearfaktoren zerfallen und das Polynom durch ein Polynom vom Grad zwei, welches in Linearfaktoren zerfällt teilbar ist, so ist es auch durch die Linearfaktoren teilbar.

Es gibt zwei Möglichkeiten, diese Polynome zu bestimmen.

1.) Wir bestimmen alle Polynome vom Grad 2 über und sortieren die aus, die durch darstellbar sind (etwas rechenaufwendig)

oder

2.) Wir kennen die Poylnome, also "sehen", welche irreduzibel sind.

Dieses ist zum ersten das von dir genannte:



Nun sage mir, welche normierten 'Polynome vom Grad 2 existieren über ?

Welche davon sind irreduzibel über ?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Nun, die drei normierten Polynome, die Leopold meint sind die drei Polynome vom Grad 2, die nicht in linearfaktoren über zerfallen, ist dir klar, warum?


Wenn die Polynome in Linearfaktoren zerfallen würden, dann hätten wir vorher bei dem Polynom schon einen Linearfaktor mit Grad 1 abspalten können. Da das nicht ging können wir also die Polynome vom Grad 2, die in Linearfaktoren zerfallen, ignorieren uns betrachten nur noch die irredzuiblen. Richtig?

Zitat:
Original von lgrizuWenn die Polynome in Linearfaktoren zerfallen und das Polynom durch ein Polynom vom Grad zwei, welches in Linearfaktoren zerfällt teilbar ist, so ist es auch durch die Linearfaktoren teilbar.


Macht Sinn für mich smile

Zitat:
Original von lgrizu
Es gibt zwei Möglichkeiten, diese Polynome zu bestimmen.

1.) Wir bestimmen alle Polynome vom Grad 2 über und sortieren die aus, die durch darstellbar sind (etwas rechenaufwendig)

oder

2.) Wir kennen die Poylnome, also "sehen", welche irreduzibel sind.

Dieses ist zum ersten das von dir genannte:



Nun sage mir, welche normierten 'Polynome vom Grad 2 existieren über ?

Welche davon sind irreduzibel über ?


Sind das diese?

irreduzibel
irreduzibel
irreduzibel
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Zusatz:

Falls das was ich oben geschrieben richtig ist, habe ich es schon mal mit Polynomdivision versucht. Das Polynom ließ sich nicht durch eins der 3 Polynome
Zitat:
Original von Claudia105
irreduzibel
irreduzibel
irreduzibel

teilen. Also ist es nicht in Linearfaktoren zerlegbar und damit irreduzibel in Z3 und dann wegen dem Reduktionskriterium f irreduzibel in Q(Z[x]) = IQ[x]

Beweis zu Ende?

Wie kann ich das denn im Beweis zeigen, dass Polynomdivision nicht klappt? Muss ich die Rechnungen alle hinschreiben und dann zeigen, dass es nicht aufgeht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

, also reduzibel.
Und die beiden anderen Polynome sind ja gleich! Daß irreduzibel ist, stimmt allerdings, denn und , so daß das Polynom keine Nullstellen besitzt.
Es fehlen noch zwei irreduzible Polynome vom Grad 2.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal sind die beiden Polynome und über identisch, -1 und 2 liegen in der selben Restklasse.

Ich gebe dir mal alle normierten Polynome vom Grad 2 über dem Körper vor, du entscheidest, welche irreduzibel sind Augenzwinkern

















Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Ich gebe dir mal alle normierten Polynome vom Grad 2 über dem Körper vor, du entscheidest, welche irreduzibel sind Augenzwinkern

Danke smile

Bei denen, die ich für irreduzibel halte, schreibe ich das hin.

---

---

irreduzibel

---

irreduzibel

irreduzibel

---

---

---

Wenn ich mich nicht vertan habe, habe ich dann ja drei smile


Und wenn ich jetzt das Das Polynom nicht durch eins der 3 Polynome teilen kann, ist es nicht in Linearfaktoren zerlegbar und damit irreduzibel in und dann wegen dem Reduktionskriterium f irreduzibel in Q( [x]) = [x]?


Wie kann ich das denn im Beweis zeigen, dass Polynomdivision nicht klappt? Muss ich die Rechnungen alle hinschreiben und dann zeigen, dass es nicht aufgeht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Claudia105
Wie kann ich das denn im Beweis zeigen, dass Polynomdivision nicht klappt? Muss ich die Rechnungen alle hinschreiben und dann zeigen, dass es nicht aufgeht?


So kannst du es machen. Aber immer in denken!
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich oben die richtigen 3 Polynome gefunden habe, dann klappt Polynomdivision mit denen nicht in smile

Ich versuch das dann mal sinnvoll aufzuschreiben ^^ Vielen lieben Dank für eure Hilfe!!!!! Das hat mir echt enorm geholfen!!
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Frage, die zu diesem Thema passt und zwar soll ich alle irreduziblen Polynome vom Grad <= 3 in bestimmen.

Ich habe ja gerade die Polynome in bestimmt, weiß also wie es geht, aber nun bin ich mir nicht sicher, ob es einen Unterschied macht, ob ich die Polynome in oder bestimmen soll.

Ist für euch bestimmt eine dumme Frage, aber ich habe das noch nicht so ganz verstanden, also was der Unterschied dazwischen ist usw. Deshalb muss ich da leider mal blöd fragen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge bezeichnet die Menge der Polynome in der Unbestimmten über dem Ring .

Es ist also dasselbe, ob du sagst (beachte die Präpositionen!):

ist eine Polynom über

oder

ist ein Polynom in
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung, dass ist dann ja gar nicht kompliziert, man muss es nur mal gut erklärt bekommen smile


Zitat:
Original von Claudia105
Ich habe noch eine Frage, die zu diesem Thema passt und zwar soll ich alle irreduziblen Polynome vom Grad <= 3 in bestimmen.


Hierzu habe ich doch noch eine Frage:
Ich wollte jetzt wieder so vorgehen, dass ich alle möglichen Polynome aufschreibe und dann gucke, welche irreduzibel sind.

Wenn ich habe, kann dann eins der möglichen Polynome auch eine Variable weniger haben, also z.B. ?

Ansonsten hatte ich erst mal diese:


















Sind das alle möglichen oder fehlen da noch welche?

Ist es richtig, dass die Polynome ersten Grade, also und immer irreduzibel sind? da kann ich ja nichts mehr zerlegen.

Und bei den anderen schaue ich wieder, wenn ich 0 bzw 1 einsetze ob dann irgendwo 0 rauskommt oder nicht.

Muss ich dabei noch irgendwas beachten?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

! Wir sind in .

Da zwei Elemente hat, ein Polynom vom Grad aber durch seine vier Koeffizienten eindeutig bestimmt wird, muß es nach den Regeln der elementaren Kombinaotrik Polynome geben, darunter natürlich auch die trivialen konstanten Polynome und .
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuch mal auf 16 zu kommen smile

Also 0 und 1, wobei die doch keine Rolle spielen oder? Vorhin haben wir Konstante auch nicht berücksichtigt, also sind diese nicht irreduzibel, richtig?




















Das müssten sie jetzt hoffentlich sein. Ich hatte vorhin vergessen, das x = -x ist weil wir in sind.


Und nun sind die konstanten reduzibel,
die Polynome vom Grad 1 irreduzibel, weil das immer so ist
und bei den Polynomen vom Grad 2 und 3 setze ich nun 0 bzw 1 ein und wenn dann bei beiden nicht 0 rauskommt, sind sie irreduzibel. Denn wenn sie keine Nullstelle haben, kann man keinen Linearfaktor abspalten.

Man müsste nur beim Grad 4 aufpassen, da dann wieder die Zerlegung in 2 nicht irreduzible Polynome mit Grad 2 auftauchen könnten, wie bei der ersten Aufgabe. Richtig? (Ist nicht Teil der Aufgabe, nur für mein Verständnis).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die 0 (hier das Nullpolynom) und Einheiten (hier nur das Polynom konstant 1) bleiben bei Teilbarkeitsaussagen außen vor. Reduzibilität und Irreduzibilität sind dafür schlicht nicht definiert.
Ansonsten stimmt deine Aufzählung und was du sonst noch ausführst.
Ich komme auf 5 irreduzible Polynome. Und du?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch 5 smile








Ich hoffe, meien stimmen mit deinen überein *g*

Vielen Dank für deine schnelle, hilfreichen Antworten!!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Claudia105
Ich habe auch 5 smile








Kleine Schwindlerin! (*grins*)
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

ach Gott *lach*

das kommt vom zusammen kopieren Augenzwinkern

der vorletzte muss weg smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, modulo 1 gilt ja 5=6. Big Laugh
Und "modulo" liebst du doch über alles ...

Dann tun wir den vorletzten weg.
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam freunden modulo und ich uns an Augenzwinkern

Ist immerhin eine Sache, die ich generell verstehe, ich muss mich nur ständig dran erinnern *g*
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