Kurvenintegrale

04.01.2011, 15:38	Mia2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegrale Meine Frage: Hallo zusammen, ich sitze gerade vor der folgenden Aufgabe: Berechnen Sie das Kurvenintegral $\begin{eqnarray} \int_C \! \vec{F}(\vec{x}) \, d\vec{x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \vec{F}(\vec{x}) =\vec{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C = \left\{ (t,0,-\frac{t^2}{2})^T \in \mathbb R ^3, t\in [0,1] \right\} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie das Integral und bestimmen Sie eine Funktion $\begin{eqnarray} \phi (\vec{x} ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{F} = \vec{\nabla}_{\phi} \end{eqnarray}$ . Verifizieren Sie damit ihr Ergebnis. Meine Ideen: Nun, das Kurvelintegral habe ich wie folgt bestimmt: $\begin{eqnarray} [latex]\int_C \! \vec{F}(\vec{x}) \, d\vec{x} \end{eqnarray}$ [/latex] $\begin{eqnarray} = \int_0^1 \!\left[ \begin{pmatrix} t \\ 0 \\ -t/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1/2 \end{pmatrix} \, \right]dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_0^1 \!\left[ t + 1/4 t \, \right]dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_0^1 \!\left[ 5/4 t \, \right]dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{5}{8} \end{eqnarray*}$ Ist das so korrekt berechnet? Wie ich nun das Potential bestimmen soll ist mir ein Rätsel... Kann mir jemand weiterhelfen???? Vielen Dank, Mia
04.01.2011, 15:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal die Aufgabe richtigstellen: Heißt es in der dritten Koordinate $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ?
04.01.2011, 15:49	Mia2011	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, tut mir leid. Es heißt natürlich $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$
04.01.2011, 15:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann stimmt auch dein Integral nicht.
04.01.2011, 15:54	Mia2011	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} = \int_0^1 \!\left[ \begin{pmatrix} t \\ 0 \\ -t^2/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -t \end{pmatrix} \, \right]dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \int_0^1 \!\left[ t + t^3/2 \, \right]dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$ richtig so?
04.01.2011, 15:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorzeichen!
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04.01.2011, 15:59	Mia2011	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann sind es doch wieder $\begin{eqnarray} 5/8 \end{eqnarray}$ ... weißt du auch was zur potentialaufgabe?
04.01.2011, 16:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt nur eine Funktion $\begin{eqnarray} F = F(x,y,z) \end{eqnarray}$ suchen, so daß $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial x} = x \, , \ \ \frac{\partial F}{\partial y} = y \, , \ \ \frac{\partial F}{\partial z} = z \end{eqnarray}$ gilt. Die kann man aber leicht angeben. Nur mutig drauflosprobieren. Der erste Versuch müßte klappen. (Ich schreibe $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ für die Koordinaten von $\begin{eqnarray} \vec{x}. \end{eqnarray}$ )
04.01.2011, 18:41	Mia2011	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist also $\begin{eqnarray} F = \frac{x^2}{2} \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} \end{eqnarray*}$ ???? Vielen vielen Dank übrigens für deine tolle Hilfe!
04.01.2011, 18:42	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Das Malzeichen ist da wohl ein Tippfehler, oder? Damit kannst du dann das Ergebnis für das Kurvenintegral auch nochmal bestätigen.

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