Hessesche Normalenform: Abstand Punkt - Gerade?

04.01.2011, 17:47	FejZa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalenform: Abstand Punkt - Gerade? Meine Frage: Hallo, ich fertige eine GFS zum Thema HSF an und bin auf eine Frage gestoßen. Bis jetzt ist in allen meinen Materialien die Rede davon, dass mit der HSF der Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmt wird. Und hier meine Frage: Ist es mit der HSF nicht möglich, den Abstand eines Punktes zu einer GERADEN zu bestimmen? Würde mich über eine Antwort freuen. Danke. Meine Ideen: Ich weiß wie die Koordinatenform der HSF aussieht und wie sie in der "abgeänderten Normalenform" aussieht. Und hier ist das Problem. Von einer Geraden gibt es ja keine Koordinatenform. Wie kann ich dann eine Gerade in die HSF einsetzen?
04.01.2011, 18:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Im zweidimensionalen Fall stellt die Normalenform eine Gerade dar. Dann kann man mit der Hesseschen Normalenform auch den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen. 2. Im dreidimensionalen Fall geht das nicht. Aber es gibt ein Äquivalent, die Plückersche Form einer Geraden. Ist $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ ein Richtungsvektor und $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ der Ortsvektor eines Punktes der Geraden $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und ist $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , dann kann man den Abstand $\begin{eqnarray} d(P,g) \end{eqnarray}$ des Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ von der Geraden $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ mit der Formel $\begin{eqnarray} d(P,g) = \frac{\left\| \vec{u} \times \left( \vec{p} - \vec{a} \right) \right\|}{\left\| \vec{u} \right\|} \end{eqnarray}$ berechnen. Rein äußerlich hat das große Ähnlichkeit mit der Hesseschen Normalenform. Zu beachten ist aber, daß im Zähler das Kreuzprodukt steht und die Betragsstriche im Zähler für die Länge des Kreuzproduktvektors stehen.
04.01.2011, 20:28	FejZa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Anwort! Ich schau mir mal die Plückersche Form genauer an.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »