limes von x^x

04.01.2011, 20:38

Thomas345345

limes von x^x

Meine Frage:
hey leute,
bin am lernen und verzweifle.. ich suche den limes von x^x gegen minus unendlich...

Meine Ideen:
ich kanns mir nich vorstellen iwie.. also klar geht gegen null aber ja immer alternierend iwie :/

04.01.2011, 20:41

Airblader

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Du meinst $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x^x \end{eqnarray*}$ ?

In diesem Fall solltest du erstmal erläutern, wie du Potenzen für negative Basen und reelle Exponenten definierst.

Edit: Da du Schüler bist bin ich etwas freundlicher und frage mal nach, ob du nicht eher $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} x^x \end{eqnarray*}$ meinen könntest(?) Augenzwinkern

air

04.01.2011, 21:20

Telperion

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Im übrigen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ hat keinen Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \mp \infty \end{eqnarray*}$ weil die Maxima und Minima immer den gleichen y-Wert haben. Nun überleg dir mal was bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$ ist, sind die y-Werte immer gleich hoch bzw. niedrig?

04.01.2011, 21:25

Airblader

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@ Dominik

1.

Zitat:

Original von Dominik92
Im übrigen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ hat keinen Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \mp \infty \end{eqnarray*}$ weil die Maxima und Minima immer den gleichen y-Wert haben.

Das ist eine mehr als gefährliche Argumentation.

2.

Zitat:

Nun überleg dir mal was bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$ ist, sind die y-Werte immer gleich hoch bzw. niedrig?

Insbesondere deswegen. Was hat das hiermit zu tun? Die Funktion hat ein Minimum ... und jetzt?

3. Halte dich bitte ans Prinzip. "Viele Köche verderben den Brei". Lassen wir ihn erstmal auf mein Posting antworten und sofern ich auch noch online bin wenn dies passiert denke ich, kann ich mich ganz gut erstmal selber darum kümmern. Augenzwinkern

air

04.01.2011, 21:55

Thomas345345

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hey, danke für die antworten..
also ich habe mir jetzt den graphen mal zeichnen lassen.. und er geht nur bis x=0. okay, aber ich verstehe nicht wieso, denn (-10)^(-10) ist auch definiert.. gibt eine positive zahl... nun nehme ich (-9)^(-9) und es kommt eine negative Zahl raus.. folglich müsste es Nullstellen geben.. da es aber keine geben kann, ist der Graph also nur bis x=0 definiert?

04.01.2011, 22:01

Airblader

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Für solche Zahlen klappt das auch noch. Tatsächlich kann man die Funktion $\begin{eqnarray*} \tilde f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^x \end{eqnarray*}$ noch betrachten.

Bei rationalen Zahlen wirds kniffliger und allerspätestens bei reellen Zahlen ist es dann aber vorbei. Was z.B. nicht klappt ist der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{2})^{-\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ .

Siehe auch hier, insbesondere die letzten zwei Zeilen vor dem Abschnitt "Potenzgesetze".

Edit: Übrigens lässt sich auch $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^x \end{eqnarray*}$ schon nicht mehr betrachten, da man diese Potenzen schon nicht mehr sinnvoll definieren kann.

air

04.01.2011, 22:14

Thomas345345

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okay, danke !! gutes forum! Augenzwinkern

04.01.2011, 22:15

Think³

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Ist das nicht einfach:

Du meinst $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x^x = 0 \end{eqnarray*}$

Oder habe ich da etwas falsch verstanden?

04.01.2011, 22:18

Airblader

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Alles klar. Ich muss doch etwas tiefer in die Kiste greifen. Bei den Schülern muss ich mich gewissermaßen schonmal entschuldigen und kann nur hoffen, dass es wenigstens etwas spannend klingt.

Wir betrachten die Funktion hier im Reellen. Etwas anders sieht es aus, wenn wir komplexwertige Funktionswerte zulassen, also z.B. $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Man definiert dann für beliebige komplexe Zahlen (außer Null) $\begin{eqnarray*} x^z := e^{z \cdot \operatorname{Ln} x} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \operatorname{Ln} \end{eqnarray*}$ die komplexwerte (natürliche) Logarithmusfunktion bezeichnet. Bei uns ist immerhin noch $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Für den komplexen Logarithmus kommt man dann für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \ni x < 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \operatorname{Ln} x = \ln (-x) + i\pi \end{eqnarray*}$ . Damit bekommt man

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} x^x = \lim_{x \to -\infty} e^{x \cdot \operatorname{Ln} x} = \lim_{\substack{x \to -\infty \\ x < 0}} e^{x \cdot (\ln (-x) + i\pi)} = \ldots = 0\text{.} \end{eqnarray*}$

Die Schritte dorthin spare ich mir nun, denn sowas wie die Regel von l'Hospital kann man erstmal leider nicht anwenden (da wir jetzt komplexwertige Funktionen hätten). Ist hier auch gar nicht von Belang. Der Punkt ist der: Ich möchte bezweifeln, dass ihr das in der Schule habt und so machen sollt. Und im (negativen) Reellen ist der Ausdruck "x^x" einfach nicht erklärbar.

air

Edit: Oben spreche ich übrigens immer vom Hauptzweig des komplexen Logarithmus .. ich möchte hier nun eig. nicht jedes noch so kleine Detail ansprechen.

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