Grenzwerte ohne L'Hospital berechnen

04.01.2011, 20:52

coredow

Grenzwerte ohne L'Hospital berechnen

Meine Frage:
Hallo,

unter der Vorausetzung, dass $\begin{eqnarray*} \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin \left( x \right) }{x}}=1 \end{eqnarray*}$ gilt soll zunächst folgende Aufgabe gelöst werden:
$\begin{eqnarray*} \lim _{x\rightarrow \infty }x\sin \left( 2\,{x}^{-1} \right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich nehme an, dass man hier mit Additionstheoreme weiter kommt. Finde aber leider bisher keinen Ansatz. Da wir Differentiation noch nicht hatten kann L`Hospital nicht verwendet werden (im konkreten Fall sowieso nicht anzuwenden).

Gibt es ein paar (einfache) Regeln, wie man Grenzwerte "per Definition" berechnen kann? Z. B. für $\begin{eqnarray*} \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {4\,{x}^{5}-5\,{x}^{4}}{{x}^{5}-{x}^{4}}} \end{eqnarray*}$

Gruß

04.01.2011, 22:13

BarneyG.

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Nö, das mit dem Additionstheorem würde ich nicht machen.

Substituiere doch einfach

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2 * z} \end{eqnarray*}$

Und dann beachtest du noch dass x gegen unendlich äquivalent zu z gegen 0+ ist.

Nun zu deiner zweiten Frage:

Zitat:

Gibt es ein paar (einfache) Regeln, wie man Grenzwerte "per Definition" berechnen kann?

Bei den gebrochen rationalen Funktionen kann man den Limes für x gegen +/- unendlich sofort ablesen, wenn man durch die höchste Potenz von x kürzt (in deinem Beispiel also durch x hoch 5).

Wenn der Grenzwert gegen 0 geht, dann kann man x durch 1/z ersetzen und erweitert dann mit der höchsten Potenz von z. Damit hat man das Ganze auf den vorangehenden Fall zurückgeführt.

04.01.2011, 23:37

coredow

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1000 Dank, das war sehr hilfreich! Aber muss man erstmal drauf kommen!
Muss mich nur noch etwas dran gewöhnen, dass sich beim neuen Grenzwert die Folge der x-Werte (bzw. dann z-Werte) ändert (wie nennt man den Definitionswert, für den man den Funktionsgrenzwert sucht?)

Gruß

05.01.2011, 20:30

coredow

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Zitat:

[i]
Substituiere doch einfach

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2 * z} \end{eqnarray*}$

Müsste ich nicht mit 2/z Substituieren um auf den ersten Fall zu kommen?

Und kann mir noch jemand sagen, wie ich dann Grenzwerte gegen + -a, a Element der reellen Zahlen, berechne.
Zum Beispiel in folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{1}{2-x} - \frac{12}{8-x^3} \end{eqnarray*}$

Jetzt hier x mit (2 + 1/z) zu substituieren erscheint mir ein wenig zu kompliziert, oder wäre das der Weg?

05.01.2011, 20:54

BarneyG.

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Zitat:

Müsste ich nicht mit 2/z Substituieren um auf den ersten Fall zu kommen?

Hast ja recht ... da sind meine Gedanken wohl etwas ungeordnet gewesen ... Big Laugh

zur neuen Aufgabe:

Bring doch erst mal die beiden Brüche auf den Hauptnenner. Dabei beachtest du, dass beide Nenner die Nullstelle 2 haben. Also kann man eine Polynomdivision durchführen:

(x³ - 8) : (x - 2) = ...

Man muss also nur den ersten Bruch erweitern. Und dann fassen wir die Nennen zusammen. Und ... oh Wunder ... der neu entstandene Zähler hat auch die Nullstelle 2.

Na, da werden wir diese Nullstelle per Polynomdivision "wegkürzen" ... und schon sehen wir klar ...

07.01.2011, 19:53

coredow

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Bei deinem Vorgehen muss man aber dann noch vor beide Quotienten ein *(-1) setzen, da bspw. (2-x) ja nicht (x-2) ist, richtig? Da war ich anfangs etwas verwirrt und hab den den Grenzwert mit falschem Vorzeichen rausbekommen.

Leider komme ich immer noch nicht so ganz ins Thema rein, so dass ich bisher kaum eine Aufgabe alleine lösen kann, geschweigedenn ohne Maple.

Deswegen hier wieder eine:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{(x+z)^{n}-z^{n} }{x} \end{eqnarray*}$

Hier hab ich es zunächst mit dem Substituieren (x=1/y) versucht. Da komme ich dann allerdings auf einen Ausdruck "unendlich minus unendlich".

Nun habe ich die arge Befürchtung, dass ich hier etwas mit dem Logarithmus und der E-Funktion umwandeln muss. Komme aber mit meinen Rechenregeln ebenfalls auf keinen grünen Zweig.

Wäre schön, wenn da nochmal jemand nen Ansatz für mich hätte.

Grüße

08.01.2011, 10:56

klarsoweit

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Ich würde auf $\begin{eqnarray*} (x+z)^n \end{eqnarray*}$ die binomische Formel anwenden.

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