Induktion

21.11.2006, 19:06

ErRoRr-FuNCtiOn

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Induktion

Seien $\begin{eqnarray*} a_0,...,a_n \in R \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f: C \rightarrow C \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} f(z) = a_0 + a_1z + a_nz^n \end{eqnarray*}$

Zeige dass dann $\begin{eqnarray*} f\overline{z} = \overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Kann man das vllt mit Induktion machen? wenn ja wie ? Ansätze?

21.11.2006, 19:10

klarsoweit

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RE: Induktion
Nee. Das zeigt man direkt. Was ist denn $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2006, 19:35

mercany

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Verschoben

21.11.2006, 23:18

chris85

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keine Ahnung was $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) \end{eqnarray*}$ , man weiß was $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ist aber mehr weiß ich auch nicht, das ist auch mein erstes problem!

22.11.2006, 08:29

klarsoweit

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Wieso weißt du das nicht?
Beispiel: f(z) = 1 + 2*z
Was ist dann $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) \end{eqnarray*}$ ?

PS: und warum meldest du dich in diesem Thread, der ja nicht von dir stammt?

22.11.2006, 15:04

tim3k

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z=a+ib
_
z=a-ib
stimmt das?

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22.11.2006, 15:43

ErRoRr-FuNCtiOn

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Ja das stimmt!

22.11.2006, 16:30

ErRoRr-FuNCtiOn

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Also wir wissen dass, $\begin{eqnarray*} z = a+ib \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{z} = a-ib \end{eqnarray*}$ ist.
Und dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z \end{eqnarray*}$

Es muss dann wohl auch so ähnlich mit $\begin{eqnarray*} f\overline{(z)} = \overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ zu zeigen sein. wie ich das aber zeigen kann weiß ich nicht so genau. könnte mir jemand einen tipp geben?

22.11.2006, 17:34

mercany

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RE: Induktion

Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Zeige dass dann $\begin{eqnarray*} f\overline{z} = \overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Schreib die beiden Seiten dochmal aus. Was ist $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) \end{eqnarray*}$ und was $\begin{eqnarray*} \overline{f(z)} \end{eqnarray*}$ ?
Und jetzt überleg mal, wie man die Gleichheit zeigen kann - das ist eigentlich nicht sehr schwer.

Ansonsten sag nochmal, wo du hängen bleibst.

Gruß, mercany

22.11.2006, 17:58

ErRoRr-FuNCtiOn

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$\begin{eqnarray*} f(\overline{z})=a-ib \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht bzw. ich kann aus meinen $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ nicht herauslesen was $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

Da hänge ich! und mein nächstes problem ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ . was ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? auch eine komplexe zahl? ich weiß es einfach nicht. hilfeeee

22.11.2006, 18:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
$\begin{eqnarray*} f(\overline{z})=a-ib \end{eqnarray*}$

Unfug. Wenn z = a +ib ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \overline{z} = a -ib \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) \end{eqnarray*}$ .

Aber den Umweg über die Darstellung z = a +ib muß man gar nicht gehen. f(z) ist doch oben angegeben. Was ist dann $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) \end{eqnarray*}$ ?

Und wenn das zu schwer fällt: Was ist f(0)? . Was ist f(1) ?. Was ist f(hugo)?

22.11.2006, 18:32

ErRoRr-FuNCtiOn

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$\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) = a_0-a_1z-a_2z²-...-a_nz^n \end{eqnarray*}$
stimmt das oder lieg ich da flasch?

Was ist aber $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ ? Ist ja keine Folge,Zahl oder sonst was...

22.11.2006, 18:35

tar

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Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
$\begin{eqnarray*} f(\overline{z})=a-ib \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht bzw. ich kann aus meinen $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ nicht herauslesen was $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

Da hänge ich! und mein nächstes problem ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ . was ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? auch eine komplexe zahl? ich weiß es einfach nicht. hilfeeee

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} C \rightarrow C \end{eqnarray*}$ oder?
ich hoffe die antwort wird nich gelöscht unglücklich

unglücklich

22.11.2006, 18:55

ErRoRr-FuNCtiOn

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ja aber was ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ ? das ist ja dann auch eine Abbildung, aber was für eine? Versteh ich nicht

22.11.2006, 18:57

AD

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Einfach der Operator "konjugiert komplex" auf den Funktionswert angewandt, was denn sonst:

$\begin{eqnarray*} \overline{f(z)} = \overline{a_0 + a_1z+ a_2z^2 + \cdots + a_nz^n} \end{eqnarray*}$ .

So, und jetzt nach den og. Regeln

Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Und dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z \end{eqnarray*}$

vereinfachen...

22.11.2006, 21:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
$\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) = a_0-a_1z-a_2z²-...-a_nz^n \end{eqnarray*}$
stimmt das oder lieg ich da flasch?

Was ist aber $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ ? Ist ja keine Folge,Zahl oder sonst was...

Ja ist leider falsch.
Du hast $\begin{eqnarray*} f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + ... a_nz^n \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) \end{eqnarray*}$ wird einfach statt jedem z das Zeichen $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ geschrieben. Dann hast du:
$\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) = a_0 + a_1\overline{z} + a_2(\overline{z})^2 + ... a_n(\overline{z})^n \end{eqnarray*}$

Das ist doch nur formales Ersetzen eines Schreibzeichens durch ein anderes Schreibzeichen. Ist das denn so schwer? verwirrt

verwirrt

Erst jetzt wird es interessant. Beachte, daß die a_i reelle Zahlen sind, daß also $\begin{eqnarray*} a_i = \overline{a_i} \end{eqnarray*}$ ist. Und nun geht es darum, die einschlägigen Regeln für konjugiert komplexe Zahlen anzuwenden. Siehe dazu auch deine anderen Threads.

22.11.2006, 23:07

ErRoRr-FuNCtiOn

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Also ich soll jetzt zeigen dass $\begin{eqnarray*} f(\overline{z}) = a_0 + a_1\overline{(z)} + a_2(\overline{z})^2 + ... a_n(\overline{z})^n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\overline{f(z)} =\overline{a_0 + a_1 + a_2z^2 + ...a_nz^n} \end{eqnarray*}$ ist

Das müsste man doch wahrscheinlich damit
$\begin{eqnarray*} \overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z \end{eqnarray*}$

beweisen sollen, oder? Wie mach ich das dann?

23.11.2006, 13:22

Mathespezialschüler

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Naja, was ist denn $\begin{eqnarray*} \overline z^n \end{eqnarray*}$ ? Z.B. gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \overline z^2=\overline z\cdot \overline z=\overline{z\cdot z}=\overline{z^2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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