Zerlege Polynom in Q[X] Eisenstein angewendet

04.01.2011, 21:38

Duude

Zerlege Polynom in Q[X] Eisenstein angewendet

Hallo,
meine Aufgabe ist es, das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4+10x^2+1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ zu zerlegen.

In den Lösungshinweisen steht, dass dies über eine Transformation X --> X+1 und dann über das Eisensteinkriterium zu P=2 möglich wäre.

Wir hatten bereits den Satz, dass ein Polynom $\begin{eqnarray*} P \in R[X] \end{eqnarray*}$ ireduzibel ist, genau dann wenn P(X+b) es ist. Die Transformation geht also in Ordnung.

Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} (X+1)^4+10(X+1)^2+1=x^4+4x^3+16x^2+22x+12 \end{eqnarray*}$

Aber das ist nach meinem Wissen kein Eisensteinpolynom da $\begin{eqnarray*} 2^2|12 \end{eqnarray*}$ was es ja gerade nicht tun sollte.
Also kann man auf diesem Wege die (mögliche) Irreduzibilität doch gar nicht nachweisen, oder?

Was meint ihr dazu?

lg
Duude

05.01.2011, 16:49

Reksilat

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RE: Zerlege Polynom in Q[X] Eisenstein angewendet
Hi Duude,

Der vorletzte Koeffizient muss 24 sein, aber das ist hier auch nicht weiter wichtig.
Mit Eisenstein und p=2 kann man hier letztlich nicht viel anfangen.
Auch für andere Verschiebungen und andere Primzahlen habe ich jetzt auf die Schnelle nichts erfolgsversprechendes finden können.

Hier würde ich nach einer Zerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ suchen.

Gruß,
Reksilat.

05.01.2011, 17:59

Duude

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Zitat:

Der vorletzte Koeffizient muss 24 sein

Stimmt, ich habs nochmals nachgerechnet...

Zitat:

Hier würde ich nach einer Zerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray*}$ suchen.

Also ich weiß, dass das Polynom keine Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ hat, da es nur positive Werte annimmt.
Eine Zerlegung muss also von zwei Polynomen vom Grad 2 sein.
Ich würde allgemein ansetzen mit

$\begin{eqnarray*} (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f) \end{eqnarray*}$
Durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich erhalte ich.

ad=1
ae+bd=0
af+be+cd=10
bf+ce=0
cf=1

Mein Problem ist jetzt, dass aufgrund des Ausmultiplizierens niemals dasselbe Produkt auftaucht, sodass ich auch nichts ersetzen kann.

Ich soll das Polynom ja über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ zerlegen.
Kann ich davon ausgehen, dass die einzelnen Buchstaben ganze Zahlen sein müssen?
Dann könnte ich zumindest darauf schließen, dass a,d,c,f $\begin{eqnarray*} \in \pm 1 \end{eqnarray*}$ sein müssen.

sonst stecke ich gerade aber etwas fest.
Wie könnte ich denn weiter vorgehen?

07.01.2011, 00:39

Reksilat

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Ja, Du kannst sogar beide Polynome normieren, d.h $\begin{eqnarray*} a=d=1 \end{eqnarray*}$ .
Der Rest ist mit ein wenig Bastelarbeit schnell gemacht.

07.01.2011, 00:57

Duude

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Zitat:

Kann ich davon ausgehen, dass die einzelnen Buchstaben ganze Zahlen sein müssen?

Dies kann ich, da ich das Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ untersuche, wo definitionsgemäß alle Koeffizienten ganze Zahlen sind.

Zitat:

Ja, Du kannst sogar beide Polynome normieren, d.h $\begin{eqnarray*} a=d=1 \end{eqnarray*}$ .

Hier bin ich mir nicht ganz sicher, warum das gilt. Ich glaube:
Ich kann beide Polynome normieren, da 1 und -1 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ eine Einheit ist und es daher auf dasselbe rauskommen würde, wenn ich beide Polynome mit a=d=-1 ansetzen würde. Was meinst du?

ok, wenn ich das annehmen darf habe ich das ganze zu einem Widerspruch geführt.

Ich erhalte nämlich über e=-b
f-b²+c=10

Aus cf=1 erhalte ich dass entweder c und f beide gleich 1 oder beide gleich -1 sein müssen.
Und wenn ich das in f-b²+c einsetze, erhalte ich entweder
$\begin{eqnarray*} b= \sqrt{-12} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{-8} \end{eqnarray*}$ , welche beide nicht in den ganzen Zahlen liegen. Damit ist dies ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Damit gibt es für das Polynom keine Zerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ .
Und da das Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist es auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel, da dies nach dem Satz von Gauß folgt, da dies der Quotientenkörper der ganzen Zahlen ist.

07.01.2011, 01:18

Reksilat

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Offensichtlich können a und d nur das gleiche Vorzeichen haben. Wenn a=d=-1 ist, so multipliziert man eben beide Polynome mit -1. Augenzwinkern

Auf diese Weise kann man auch sicherstellen, dass die irreduziblen Faktoren eines normierten Polynoms auch immer normiert sind.

Der Rest passt auch.

Gute Nacht,
Reksilat.

07.01.2011, 10:13

Duude

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hmm, das mit dem normiert habe ich immer noch nicht ganz verstanden.

Zitat:

Offensichtlich können a und d nur das gleiche Vorzeichen haben. Wenn a=d=-1 ist, so multipliziert man eben beide Polynome mit -1.

Damit bin ich einverstanden. Am Polynom ändere ich ja nichts, wenn ich zwei Faktoren mit -1 multipliziere, da ich das gesame Polynom dann eigentlich mit 1 multipliziere. (dies gilt aber nur, da das Polynom vom Grad 2 ist, und damit eine gerade Hochzahl die höchste Potenz ist).

Zitat:

Auf diese Weise kann man auch sicherstellen, dass die irreduziblen Faktoren eines normierten Polynoms auch immer normiert sind.

Bedeutet normiert, dass der Leitkoeffizient 1 oder -1 ist? (so wie bei dem ggT der auch nur bis auf Einheiten eindeutig ist) Dann bin ich damit einverstanden.

Wenn normiert aber bedeutet, dass der Leitkoeffizient 1 ist, wäre ich damit nicht einverstanden. Angenommen ich habe ein Polynom vom Grad 3 z.B. $\begin{eqnarray*} -x^3 + \ldots \end{eqnarray*}$ . Wenn dieses 3 Nullstellen $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2, x_3) \end{eqnarray*}$ hat, kann ich es in drei irreduzible Faktoren zerlegen $\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \end{eqnarray*}$ .
Allerdings muss dann doch mindestens ein Faktor negativ sein, sodass ich im gesamten $\begin{eqnarray*} -x^3 \end{eqnarray*}$ erhalte. Und das ist ja bei allen Polynomen mit ungeraden Hochzahlen der Fall. Damit wären dann nicht alle Faktoren normiert.

07.01.2011, 12:50

Reksilat

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Normiert bedeutet, dass der Leitkoeffizient 1 ist. Das Polynom $\begin{eqnarray*} -x^3+... \end{eqnarray*}$ ist demnach nicht normiert.
Augenzwinkern

07.01.2011, 14:42

Duude

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stimmt... da hab ich wohl mal wieder zu kompliziert gedacht.

Dann ist nämlich ein Polynom das mit $\begin{eqnarray*} -x^3 \ldots \end{eqnarray*}$ anfängt gar nicht normiert und dementsprechend können die einzelnen Faktoren auch nicht alle normiert sein.

ok, jetzt passt alles. Thx smile

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