Aufgabe zum Induktionsprinzip

04.01.2011, 23:32	lambdo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Induktionsprinzip Abend! Ich hänge momentan an einer Aufgabe bei der ich nicht einmal auf den Ansatz komme! Es geht um: $\begin{eqnarray} <br /> p^n > n^2<br /> \end{eqnarray}$ Diese Ungleichung soll über das Induktionsprinzip bewiesen werden. Wie gehe ich so etwas an? Schon bei der Annahme für n=1 stoße ich auf: $\begin{eqnarray} <br /> p > 1<br /> \end{eqnarray}$ Grüße
04.01.2011, 23:38	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> p^n > n^2<br /> \end{eqnarray}$ ist keine Aufgabe sondern eine Ungleichung und die kann man nicht beweisen. Für welche p und n soll ein Beweis geführt werden?
05.01.2011, 00:02	CuBiC	Auf diesen Beitrag antworten »
lambdo Es soll gelten für p€N mit p >= 3 und n€N. Gruß
05.01.2011, 00:41	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, das heißt du musst die Aussage $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb N\, \forall 2 < p \in \mathbb N : p^n > n^2 \end{eqnarray}$ (oder in Worten: Für alle natürlichen n gilt: Für jede natürliche Zahl p größer 2 ist die n-te Potenz von p größer als das Quadrat von n.) zeigen. Wenn du jetzt für den Induktionsanfang n=1 setzt, erhälst du: $\begin{eqnarray} \forall 2 < p \in \mathbb N : p > 1 \end{eqnarray}$ Ist diese Aussage wahr und wenn ja warum?
05.01.2011, 13:01	CuBiC	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Viele Dank, ich hatte in die falsche Richtung überlegt =) Klar ist p größer, da es ja $\begin{eqnarray} >2 \end{eqnarray}$ sein muss. Nach $\begin{eqnarray} n \mapsto n+1 \end{eqnarray}$ bekomme ich dann: $\begin{eqnarray} <br /> p^{n+1} = p^np >^{IV} pn^2 \geq^! (n+1)^2<br /> \end{eqnarray*}$ Vielen Dank nochmal und schöne Grüße

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