Integral - komme nicht weiter=/

05.01.2011, 02:44

carpediem

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Integral - komme nicht weiter=/

Meine Frage:
hey =) könnt ihr mir bitte tipps bei den folgenden integralen geben:

1) \int \! \sqrt{13x+6x-x^{2} } \, dx

2) \int \! \frac{x^{3}}{x^{8}+2x^{4}-3} \, dx

Meine Ideen:
bei dem ersten komm ich zu keinem vernünftigen ergebnis.
bei dem zweiten hab ich die nullstellen gesucht und dann die partialbruchzerlegung angewendet. als nullstelle habe ich 1 und -1.
bei der PBZ komm ich leider auch nicht zu einem ergebnis. gibt es da vlt einen anderen weg?

05.01.2011, 02:48

carpediem

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
sry hier nochmal richtig die integrale:

1) $\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{13x+6x-x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^{3}}{x^{8}+2x^{4}-3} \, dx \end{eqnarray*}$

05.01.2011, 08:38

klarsoweit

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
Das 1. Integral ist merkwürdig. Warum schreibst du nicht $\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{19x - x^2} \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Beim 2. Integral würde ich erstmal u = x^4 substituieren. Dann geht die Partialbruchzerlegung viel einfacher. smile

smile

05.01.2011, 14:30

carpediem

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
hey =) da war wohl ein x zu viel von mir. so ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{13+6x-x^{2}} \, dx \end{eqnarray*}$

05.01.2011, 14:44

klarsoweit

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
Substituiere $\begin{eqnarray*} x = 3 + \sqrt{22} \cdot sin(u) \end{eqnarray*}$ .

05.01.2011, 19:06

carpediem

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
hey! vielen dank! du hast mir wirklich sehr geholfen!
eine frage noch zur resubstitution. ich hab bei dem ersten integral am ende raus:
$\begin{eqnarray*} 22cos(u)-22sin(u) \end{eqnarray*}$
was soll ich nun für u einsetzen?

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06.01.2011, 08:49

Der Lustige Peter

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
Hallo carpediem,

kannst Du die Rechenschritte mal posten? Ich dachte mir, ich rechne die Aufgabe auch mal so zur Übung und ich glaube, ich habe mich vertan.
Bei mir sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{13+6x-x^2} \, dx = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int \! \sqrt{13+6*(3+\sqrt{22}\sin(u)-(3+\sqrt{22}\sin(u))^2}*\sqrt{22}\cos(u) \, du = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int \! \sqrt{13+18+6\sqrt{22}\sin(u)-9-6\sqrt(22)\sin(u)-\sin^2(u)}*\sqrt{22}\cos(u) \, du = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int \! \sqrt{22-\sin^2(u)}*\sqrt{22}\cos(u) \, du \end{eqnarray*}$
geht das konform?

06.01.2011, 08:50

klarsoweit

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RE: Integral - komme nicht weiter=/

Zitat:

Original von carpediem
eine frage noch zur resubstitution. ich hab bei dem ersten integral am ende raus:
$\begin{eqnarray*} 22cos(u)-22sin(u) \end{eqnarray*}$
was soll ich nun für u einsetzen?

Hmm. Zeige mal, was du gerechnet hast.

EDIT: @Peter: es muß - 22*sin²(u) heißen.

06.01.2011, 08:54

klarsoweit

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RE: Integral - komme nicht weiter=/

Zitat:

Original von Der Lustige Peter
$\begin{eqnarray*} = \int \! \sqrt{13+18+6\sqrt{22}\sin(u)-9-6\sqrt(22)\sin(u)-\sin^2(u)}*\sqrt{22}\cos(u) \, du = \end{eqnarray*}$

Hier muß es $\begin{eqnarray*} = \int \! \sqrt{13 + 18 + 6\sqrt{22}\sin(u) - 9 - 6\sqrt(22)\sin(u) - 22 \sin^2(u)} \cdot \sqrt{22}\cos(u) \, du \end{eqnarray*}$ heißen.

Und gewöhne dir bitte an, mal ein paar Blanks in den Latexcode zu schreiben. Dann kann man das Ding auch lesen.

06.01.2011, 09:22

Der Lustige Peter

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
@carpediem:
Die Partialbruchzerlegung geht wunderbar!
Ich bekomme da $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^3}{x^8 + 2x^4 - 3} \, dx = \int \! \frac{x^3}{4 * (x^4 - 1)} - \frac{x^3}{4 * (x^4 + 1} \, dx \end{eqnarray*}$ raus und das ist lösbar!

@klarsoweit:
Vielen Dank für Deine Korrekturen! Das mit den Leerzeichen wusste ich nicht. Bin leider kein geübter Latex-Nutzer. Kannst Du mal schauen, ob das so jetz in Ordnung ist mit der Lesbarkeit? (s.o.)

Viele Grüße
Peter

06.01.2011, 10:04

klarsoweit

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
Die Lesbarkeit ist deutlich besser. Allerdings ist

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^3}{x^8 + 2x^4 - 3} \, dx = \int \! \frac{x^3}{4 * (x^4 - 1)} - \frac{x^3}{4 * (x^4 + 3)} \, dx \end{eqnarray*}$

06.01.2011, 10:41

René Gruber

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Zitat:

Original von klarsoweit
Substituiere $\begin{eqnarray*} x = 3 + \sqrt{22} \cdot sin(u) \end{eqnarray*}$ .

Aus didaktischen Gründen sollte man vielleicht noch ergänzen, dass diesem Geistesblitz die quadratische Ergänzung

$\begin{eqnarray*} 13+6x-x^2 = 22-(x^2-6x+9) = 22-(x-3)^2 = 22\left(1 - \left(\frac{x-3}{\sqrt{22}} \right)^2 \right) \end{eqnarray*}$

vorausgeht. Ich weiß nicht, ob das dem Fragesteller so bewusst war, deswegen habe ich mir erlaubt, das hier anzufügen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2011, 10:45

Der Lustige Peter

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RE: Integral - komme nicht weiter=/
@klarsoweit:
Völlig richtig. Blöder Schreibfehler meinerseits.

06.01.2011, 11:24

Der Lustige Peter

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Hallo René,

Zitat:

Original von René Gruber

Aus didaktischen Gründen sollte man vielleicht noch ergänzen, dass diesem Geistesblitz die quadratische Ergänzung

$\begin{eqnarray*} 13+6x-x^2 = 22-(x^2-6x+9) = 22-(x-3)^2 = 22\left(1 - \left(\frac{x-3}{\sqrt{22}} \right)^2 \right) \end{eqnarray*}$

vorausgeht. Ich weiß nicht, ob das dem Fragesteller so bewusst war, deswegen habe ich mir erlaubt, das hier anzufügen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ihm vielleicht schon, aber mir ist jetzt nicht gaz klar, wo da der Sinus herkommt. könntest Du das vielleicht noch erklären?

Gruß
Peter

06.01.2011, 11:33

klarsoweit

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Der Sinus fällt quasi vom Himmel. Die Idee ist, daß man am Ende 1 - sin²(u) unter der Wurzel stehen hat.

06.01.2011, 15:36

carpediem

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hey, das mit der partialbruchzerlegung hat bei mir dank der substitution u=x^4 prima geklappt.

zum anderen Integral:
$\begin{eqnarray*} -\int \! \sqrt{(x-3)^{2}-22} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\int \! \sqrt{(\sqrt{22}sin(u) )^{2}-22} \, \sqrt{22}cos(u)du \end{eqnarray*}$

ich seh grad dass ich bei dem nächsten schritt nen fehler gemacht hab :p
aber wenn ich das ergebnis dann habe, was muss ich dann für u einsetzen?

06.01.2011, 15:46

klarsoweit

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Du mußt dein Ergebnis so umformen, daß nur Terme mit sin(u) vorkommen. Dann kannst du leicht rücksubstituieren.

06.01.2011, 16:35

carpediem

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hm ich habe als ergebnis das hier:

$\begin{eqnarray*} 22\int \! cos^2(u) \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =11[u+sin(u)cos(u)]+c \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 08:48

klarsoweit

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Ersetze nun das cos(u) mit $\begin{eqnarray*} cos(u) = \sqrt{1 - sin^2(u)} \end{eqnarray*}$ .

Für das u muß man leider in den sauren Apfel beißen und $\begin{eqnarray*} x = 3 + \sqrt{22} \cdot sin(u) \end{eqnarray*}$ mittels arcsin nach u umstellen.

07.01.2011, 13:57

carpediem

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danke! ich habs geschafft=)

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