Addition von Untervektorräumen

05.01.2011, 09:22

Lil

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Addition von Untervektorräumen

Meine Frage:
Hallöchen,

hab hier eine Aufgabe zu Untervektorräumen:

ICh hbae $\begin{eqnarray*} U_1:= [\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ i \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}] und U_2:= [\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ i \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2-i \\ 1 \\ i \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$ .

Ich soll jetzt eine Basis zu (U1 + U2) und eine zu $\begin{eqnarray*} (U1 \cap U2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Wie ich eine Basis bestimme weiß ich, mein Problem ist im Moment wie ich U1 + U2 mache.

Kannn mir bitte jemand helfen diese UVR zu addieren?

05.01.2011, 09:45

dupla

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der Zassenhaus-Algorithmus ist das perfekte hilfsmittel für diese aufgabe.

05.01.2011, 10:03

Lil

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In der VL hatten wir das noch nicht kann ich das dann trotzdem anwenden?

05.01.2011, 10:44

Lil

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ICH HABE jetzt versucht die Matrix auzulösen, allerdings komme ich hier nicht mehr weiter:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & -i & 5 & 4 & 6 & i\\ 0 & 1 & 0 & 0 &1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -i & 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2-i & 1 & -i & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das soweit rcihtig und was mache ich mit dem 2-i ? beklomme ich das irgendwie weg, damit ich auf die einheitsmatrix komme`

05.01.2011, 10:49

Cel

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Dann wohl eher nicht. Aber es geht auch anders (eigentlich ist das genau das gleiche wie der Zassenhaus-Algorithmus, nur quasi anders aufgeschrieben. Die Idee ist die gleiche.

Sei $\begin{eqnarray*} U_1 = [v_1,v_2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 = [v_3, v_4] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_1 + U_2 \end{eqnarray*}$ sind dann alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 \lambda_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ liegen alle Vektoren, die sich als $\begin{eqnarray*} \mu_1 \cdot v_1 + \mu_2 \cdot v_2 = \mu_3 \cdot v_3 + \mu_4 \cdot v_4 \end{eqnarray*}$ darstellen lassen.

Hilft dir das weiter?

Edit: Mein Post bezog sich auf deine vorletzte Antwort, hab die andere nicht gesehen. Muss jetzt aber weg, wenn jemand etwas zu sagen hat, wird er dir antworten. Wink

Wink

05.01.2011, 10:56

Lil

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Also dann komme ich für U1 + U2 auf die Matrix

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2-i \\ 4&1&2&1 \\ i&0&i&i \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$ ?

Ok ich bring die jetzt mal auf die einheitsmatrix

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05.01.2011, 11:02

Lil

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Nein, das kann ich nciht stimmen sorry

wie sieht dann meinem Matrix aus?

05.01.2011, 13:36

Lil

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ODe rstimmt das doch?

Kann mir bitte jemand helfen?

05.01.2011, 13:40

ruder-rudi

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Zitat:

Original von Lil
Also dann komme ich für U1 + U2 auf die Matrix

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2-i \\ 4&1&2&1 \\ i&0&i&i \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$ ?

Ok ich bring die jetzt mal auf die einheitsmatrix

Ich denke eigentlich schon, dass das stimmt. Wenn ich das vereinfache, komme ich auf die Basis $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ . Irgendwie würde es mich aber überraschen, wenn das stimmt...

Zitat:

Original von Lil
ODe rstimmt das doch?

Kann mir bitte jemand helfen?

Wieso so eilig? Du hast doch noch ewig Zeit.

05.01.2011, 13:47

ruder-rudi

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Zitat:

Original von ruder-rudi

Zitat:

Original von Lil
Also dann komme ich für U1 + U2 auf die Matrix

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2-i \\ 4&1&2&1 \\ i&0&i&i \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$ ?

Ok ich bring die jetzt mal auf die einheitsmatrix

Ich denke eigentlich schon, dass das stimmt. Wenn ich das vereinfache, komme ich auf die Basis $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ . Irgendwie würde es mich aber überraschen, wenn das stimmt...

Zitat:

Original von Lil
ODe rstimmt das doch?

Kann mir bitte jemand helfen?

Wieso so eilig? Du hast doch noch ewig Zeit.

Mit meiner Basis kann ich ja nicht einmal den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen. Die ist also mit größter Sicherheit falsch...

05.01.2011, 19:55

Cel

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Zitat:

Original von Lil
Also dann komme ich für U1 + U2 auf die Matrix

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2-i \\ 4&1&2&1 \\ i&0&i&i \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$ ?

Das ist tatsächlich falsch. Du suchst eine Basis des Spanns von den Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,~v_2,~v_3,~v_4 \end{eqnarray*}$ . Dazu musst du die Vektoren zeilenweise in eine Matrix schreiben und Zeilenstufenform herstelllen.

06.01.2011, 13:16

Lil

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Hej,

ok ich hab jetzt versucht das auf eine Treppenstufenform zu bringen aber hier komme ich wegen dem i wieder nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & i \\ 0 & -i & 3 & 3i \\ 0 & 1 & -1 & -i \\ 0 & 0 & 1 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.01.2011, 13:19

Lil

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bzw. noch weiter vereifacht:
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -i \\ 0 & -i & 0& 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.01.2011, 15:58

Cel

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Wie hast du denn umgeformt. Deine Rechenschritte würden die Sache erleichtern. Hast du mit meiner transponierten Matrix gearbeitet?

08.01.2011, 16:32

_Digamma_

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Wir sind vermutlich auf der selben Uni, falls Du ÜB 9 bearbeitest.

Im Skript auf S. 117 steht etwas dazu.

In etwa:

I. Alles in eine Matrix: ( u11 | u12 | u21 | u22 )
II. Gaußen
III. Basen ablesen
IV. -1 Trick

Wir haben in unserem Tutorium (22.) eine Schema F Anleitung erhalten ( Findet man auch im Netz, suche nach "Der Minus-Eins Zeilen Trick", von Thomas Pajor), in der steht wie das geht.

V. Vergleichen

Tipp: Was gibt i^2.

09.01.2011, 11:14

Lil

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Danke für deine Hilfe,

also ich habe für U1+ U2 die Basen
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -i \\ 0\\ i \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und für

U1 geschnitten U2:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 4i-1\\ -4i-2\\ -4i \\ 2-2i \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

was mach ich jetzt?

Ich muss doch jetzt die beiden basen vergleich. Mir fällt da aber kein zusammenhang auf .

Sind dann alle vektoren der beiden basen meine Basis ?

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