Gleichung nach k auflösen

05.01.2011, 09:40

Apfelkuchen

Gleichung nach k auflösen

Meine Frage:
73 = -69k*e^(k*3)

Für eine Aufgabe muss ich diese Gleichung nach k auflösen. Leider bin ich da etwas überfordert.

Meine Ideen:
Ich schätze mal, das soll irgendwie mit einem Logarithmus gelöst werden?!

05.01.2011, 10:29

klarsoweit

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RE: Gleichung nach k auflösen
Am besten postest du mal die komplette Aufgabe. So, wie das da steht, geht das nur mit einem Näherungsverfahren.

05.01.2011, 11:26

Apfelkuchen

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okay, kann tatsächlich sein, dass schon der ansatz falsch ist. ^___^" die aufgabe steht im buch unter dem thema "Begrenztes Wachstum", falls das weiterhilft.

Eine heiße Flüssigkeit wird bei einer konstanten Umgebungstemperatur von 20°C abgekühlt. Die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme kann durch eine Funktion a mit a(t)= -69*k*e^(k*t) näherungsweise beschrieben werden.
3 Minuten nach Messbeginn hatte die Flüssigkeit eine Temperatur von 73°C. Wie hoch war die Temperatur zu Beginn der Messung?

05.01.2011, 12:31

Helferlein

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a(t) ist die Temperaturabnahme, nicht die Temperatur selber.
Die tatsächlige Temperatur erhälst Du durch Integrieren.

05.01.2011, 13:14

klarsoweit

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Tja, genaues Lesen kann auch helfen. smile

$\begin{eqnarray*} a(t)= -69*k*e^{k*t} \end{eqnarray*}$ beschreibt nicht den Temperaturverlauf, sondern die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme. Demzufolge ist der Temperaturverlauf:

$\begin{eqnarray*} T(t) = T_0 + \int_0^t~a(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nebenbei scheint mir, daß es $\begin{eqnarray*} a(t)= -69*k*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$ mit k > 0 heißen muß.

05.01.2011, 14:03

René Gruber

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Zur Lösung: Es sind zwei Größen unbekannt, Anfangstemperatur $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ sowie Abkühlungsrate $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

Bezogen auf

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} T(t) = T_0 + \int_0^t~a(x)~dx \end{eqnarray*}$

haben wir nun in der Aufgabenstellung die Angabe

$\begin{eqnarray*} T(3~\textrm{min}) = 73^{\circ} \end{eqnarray*}$

sowie auch noch

$\begin{eqnarray*} T(\infty) = 20^{\circ} \end{eqnarray*}$

vorliegen, die beide zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ herangezogen werden müssen. Tatsächlich reicht zur Bestimmung von nur $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ sogar allein die zweite Bedingung.

04.02.2012, 19:03

User1

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Ich erbitte um die Lösung dieser Aufgabe, sie ist katastrophal. Big Laugh

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