GL(n,K) Gruppenbeweis |
| 05.01.2011, 10:32 | dli | Auf diesen Beitrag antworten » |
| GL(n,K) Gruppenbeweis Hallo, Ich muss beweisen, dass GL(n,K), also die Menge aller regulären nxn-Matrizen, eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation ist. Meine Ideen: Assoziativität, neutrales Element und Invertierbarkeit sind kein Problem, aber ich hab keine Idee, wie man die Abgeschlossenheit beweisen soll... |
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| 05.01.2011, 10:34 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Abgeschlossenheit heißt ja, dass das Produkt der Matrizen wieder invertierbar ist. Die Inverse von Matrizen ist eindeutig. Wenn Du also zu der Matrix X = AB (A,B invertierbar) eine Matrix Y findest , so dass XY = YX = E (E = Einheitsmatrix) ist, dann hasst Du gezeigt, dass eine Inverse Matrix für AB existiert. Wie würde wohl Y aussehen? |
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| 05.01.2011, 10:38 | dli | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super, Vielen Dank! |
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| 05.01.2011, 17:01 | Sparschwein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, ich versuche mich auch gerade an dieser Aufgabe. Ich hoffe, dass es in Ordnung ist, wenn ich hier poste. Ich weiß auch, welche Eigenschaften gezeigt werden müssen; allerdings sind mir Assoziativität, neutrales Element und Invertierbarkeit nicht so klar wie dem Threadersteller. Invertierbarkeit müsste doch schon aufgrund der Voraussetzung gelten. Ist das richtig? Die Menge GL(n,K) enthält doch nur invertierbare Matrizen. Für ein gilt also, dass es ein gibt, mit . Prinzipiell ist mir klar, wie man z.B. die Existenz eines inversen Elements beweist - einfach nachrechnen. Aber wie rechnet man denn mit Matrizen mit nxn Einträgen? Um die Assoziativität zu zeigen, müsste ich ja drei reguläre Matrizen mit nxn Einträgen nehmen und miteinander multiplizieren (mit unterschiedlicher Klammersetzung) um zu beweisen, dass trotz unterschiedlicher Klammersetzung dasselbe Ergebnis herauskommt. |
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