Grenzwert sinus cosinus

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isa85 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert sinus cosinus
Meine Frage:
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
(a)
b) gemeint ist hier, dass der grenzwert von oben kommt
c)
d) gemeint ist, dass der grenzwert von oben kommt

Meine Ideen:
a) 0
b) nicht definiert, da der Nenner immer null wird
c) Ich bin überfragt.Habe es versucht mit der Reihendefinition von cos und sin rauszubekommen. Eigentlich müsste, wegen des höheren Exponenten ja der sinus schneller wachsen und daher das ganze gegen unendlich gehen. allerdings stört das (-1)hoch k, was immer dafür sorgt. wird sinus also immer negativ uns cosinus positiv? kann mir nicht vorstellen, wo die reihen hin laufen
d) keine idee
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus cosinus
Zitat:
Original von isa85
a) 0

Wie kommst du darauf? Schauen wir uns mal einen Plot an:



Zitat:
Original von isa85
b) nicht definiert, da der Nenner immer null wird

Das ist kein Argument. Bei ist der Bruch für x=1 nicht definiert. Dennoch gibt es den Grenzwert.

Zitat:
Original von isa85
c) Eigentlich müsste, wegen des höheren Exponenten ja der sinus schneller wachsen und daher das ganze gegen unendlich gehen.

Hää? verwirrt

Kürze den Bruch durch x und bilde dann den Grenzwert.

Zitat:
Original von isa85
d) keine idee

Kürze den Bruch durch x. Dann brauchst du dich nur noch um zu kümmern.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus cosinus
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von isa85
a) 0

Wie kommst du darauf?


Ich dachte so: x mal cos(x)/sin(x) wird null, da, wenn x gegen null geht, der erste faktor auch gegen 0 geht...
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dem durch x kürzen verstehe ich nicht. wie kann ich denn das x aus sin oder cos rausholen????
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus cosinus
Schreibe .

Jetzt mußt du nur überlegen, was die Brüche in Zähler und Nenner machen.

Zitat:
Original von isa85
Ich dachte so: x mal cos(x)/sin(x) wird null, da, wenn x gegen null geht, der erste faktor auch gegen 0 geht...

Und das Argument gilt auch für x * 1/x ? Das geht dann auch gegen Null?
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, das kann nicht sein, da muss ich noch mal überlegen...

Wir haben leider den Grenzwert von cos und sin nicht definiert. wie komme ich denn darauf? mit der alternierenden reihe?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten schreibst du, bei welcher Aufgabe du jetzt bist. Dann rechnen wir die fertig und dann nehmen wir die nächste usw. Sonst geht das einfach zu arg durcheinander.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus cosinus
Zitat:
Original von klarsoweit
Schreibe .

Jetzt mußt du nur überlegen, was die Brüche in Zähler und Nenner machen.



Ich überlege, aber weiß nich, wie ich zu einem Ergebnis kommen kann was den Grenzwert von cos und sin angeht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert sinus cosinus
Es geht doch im Prinzip um .

Dazu betrachten wir .

Schätze nun geeignet nach unten und nach oben ab und nutze das Sandwich-Lemma.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne kein Sandwich-Lemma verwirrt verwirrt unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Dann eben auf deutsch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz
Augenzwinkern
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich noch nie gesehen. wende ich das so an:

sin(x) liegt betragsmäßig zwischen -1 und 1.
Das heißt sin(x)/x liegt zwischen -1/x und 1/x?
Beides geht gegen null, also ist unser gesuchter Grenzwert null?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was sin(x)/x bzw. cos(x)/x angeht. Jetzt gehe damit wieder in den kompletten Bruch.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

das ganze geht also gegen 2/2 =1 ? smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Freude
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

cool, danke! kannst du mir auch einen tip für die a geben?
ich kenne den grenzwert für limes gegen 0 für:
sin(x)/x =1
(cosx-1)/x=0

Muss ich das dahin umformen?wenn ja, weiß ich nicht wie.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von isa85
ich kenne den grenzwert für limes gegen 0 für:
sin(x)/x =1

Dann kennst du auch den Grenzwert von .
Der Rest ist dann kein Thema mehr.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, aber jetzt muss ich ja noch den grenzwert für cos rausfinden... verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also das sollte ja wohl kein Thema. Das weiß jeder Schüler der 12. Klasse.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich das einfach ohne beweis hinschreiben, auch wenn wir den in der vorlesung noch nicht definiert haben?
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

ich schreib das jetzt einfach hin.

was mach ich denn mit dem cosx/x aus der d? ich hab mal -1/x+1/x gerechnet, um auf meine formel zu kommen, bleibt aber immer noch ein x im nenner?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was rechnest du denn jetzt? verwirrt

Wir haben .

Und von jedem Faktor kennst du den Grenzwert.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das habe ich auch bei der a hingeschriebn, aber wir hatten noch nicht den Grenzwert vom cos(x) x gegen 0 als definiert. das habe ich jetzt einfach vorausgesetzt...

Bei der d hab ich am Ende stehen: limes von oben gegen o (x-1)/2x und komm nicht weiter...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von isa85
ja, das habe ich auch bei der a hingeschriebn, aber wir hatten noch nicht den Grenzwert vom cos(x) x gegen 0 als definiert. das habe ich jetzt einfach vorausgesetzt...

Also ehrlich gesagt weiß ich noch immer nicht, was da bei dir das Problem ist bzw. was du da rechnest. cos(x) ist eine stetige Funktion, also ist . Und jetzt behaupte nicht, daß du das noch nicht hattest. Auch Schulwissen darf man an der Uni nicht völlig vergessen.

Was Aufgabe d angeht, geht der Zähler gegen -1 und der Nenner gegen Null. Also ist der Grenzwert plus bzw. minus unendlich je nachdem, von welcher Seite man gegen die Null geht. Das muß man natürlich noch etwas ausschmücken und begründen.
isa85 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke. ja, dass das eins ist, sagt ja schon der taschenrechner. aber sonst darf man ja noch nicht mal ohne def. schreiben, dass 1 größer 0 ist.aber ok...

letzte frage zur b: erster teil geht gegen minus undendlich, zweiter gegen plus unendlich???
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