Es ex. genau ein Polynom mit ...

21.11.2006, 21:14	L.Lutz	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ex. genau ein Polynom mit ... Hallo, eine unserer Aufaben ist mir ein Rätsel: Seien $\begin{eqnarray} \zeta_0,...,\zeta_m \end{eqnarray}$ paarweise verschiedene Knoten für ein $\begin{eqnarray} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Seien $\begin{eqnarray} f^{(k)}_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=0,...,n_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i=0,...,m \end{eqnarray}$ beliebige Zahlen. Zeige, dass es dann genau ein Polynom $\begin{eqnarray} p \in \mathcal{P}_N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N+1 := \sum_{i=0}^m (n_i +1) \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} p^{(k)}(\zeta_i) = f_i^{(k)} \quad \forall_{k=0,...,n_i} \forall_{i=0,...,m} \end{eqnarray}$ Wie sind denn die "Zahlen" $\begin{eqnarray} f_i^{(k)} \end{eqnarray}$ zu verstehen? Das ^(k) meint doch normal die k-te Ableitung ... die k-te Ableitung einer Zahl? Oder soll das eine Funktion sein? Vielleicht hat jemand ein Stichwort für mich in welche Richtung ich überlegen muß? Ich kann die Aufgabe gar nicht einordnen. Danke!
21.11.2006, 23:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Es ex. genau ein Polynom mit ... Auf den ersten Blick sieht mir das nach dem Hermite-Interpolationspolynom aus. Die unterschiedlichen Indizes $\begin{eqnarray} m, n_i \end{eqnarray}$ stammen aus der Betrachtung von Mehrfachknoten (Interpolationstellen). Mit der Interpolationsbedingung: $\begin{eqnarray} p^{(k)}(\zeta_i) = f_i^{(k)} \quad \forall_{k=0,...,n_i} \forall_{i=0,...,m} \end{eqnarray}$ Sind die k-ten Ableitungen der Funktion f gemeint. Google dir ein Skript oder wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Interpolation Den Beweis findest du in "jedem" Numerik Buch. Zu zeigen: - Es gibt ein Polynom, dass diese Bedingung erfüllt - Es ist eindeutig bestimmt

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