Bestimmung ganzrationaler Funktionen

21.11.2006, 21:47

Happy1337

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Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Hey, hab da mal wieder so meine Probleme:
Aufgabe :
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph a die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in $\begin{eqnarray*} P (-3|0) \end{eqnarray*}$ parallel zur Geraden $\begin{eqnarray*} y = 6x \end{eqnarray*}$ ist

Ok, also ich kenne den Punkt $\begin{eqnarray*} P (-3|0) \end{eqnarray*}$ und weiß das die Tangente parallel zur Geraden $\begin{eqnarray*} y = 6x \end{eqnarray*}$ ist. Naja steigung gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
Hmm ansonsten weiß ich wohl nurnoch das ich ne doppelte Nullstelle habe.

$\begin{eqnarray*} a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0 \end{eqnarray*}$

Das ist ja soweit erstmal die allgemeine Form, nur weiß ich jetzt nicht so recht weiter verwirrt

verwirrt

Weiß da jmd. was ?

gruß Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.11.2006, 21:54

Musti

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RE: Bestimmung ganzrationaler Funktionen
Wieso steigung gleich 0???

Überlege dir das ganze nocheinmal

Du hast eine Steigung gegeben aber die ist nicht gleich 0.

Tipp: y=6x =mx

21.11.2006, 22:05

RS

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Weiterhin entfällt aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} a(x)=ax³+bx²+cx+d \end{eqnarray*}$ (Ich habe mal der Übersicht und Schreibersparnis halber diese Variablen gewählt) eine weitere Größe.

Tipp hierzu: Der Graph verläuft durch den Koordinatenursprung! Und einem x-Wert kann bei Funktionen immer nur ein y-Wert zugeordnet werden, nie zwei oder mehrere!

21.11.2006, 22:16

Happy1337

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Ähm habe ich dann eine Punktsymetrie vorliegen, wenn der Graph durch den Ursprung verläuft ?
Weil dann würde das ganze ja so aussehen ... $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + cx \end{eqnarray*}$
Weil bei Punktsymetrie kann ich ja nur gerade exponenten haben. Ok, dass mit der Steigung kann echt nicht sein...

Kann ich denn noch irgentwas wichtiges der Aufgabenstellung entnehmen ?

gruß

21.11.2006, 22:20

RS

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Nein die ist nicht zwangsläufig punktsymetrisch solange es nicht in der Aufgabenstellung steht. Denn die Funktion $\begin{eqnarray*} x³+x² \end{eqnarray*}$ verläuft z.B. auch durch den Koordinatenursprung aber ist niemals punktsymetrisch. Nur das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ hinten entfällt, denn wenn der Graph durch den Ursprung verläuft, dann ist d ja zwangsläufig = 0

21.11.2006, 22:21

pseudo-nym

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Zitat:

Hmm ansonsten weiß ich wohl nurnoch das ich ne doppelte Nullstelle habe.

Das hilft nicht weiter. Besser ist zu sagen, dass bei $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$ ein Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt.

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21.11.2006, 22:21

Musti

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Nein aber wenn der Graph durch den Ursprung verläuft was bedeutet dass dann für d in der allgemeinen gleichung dritten grades?

21.11.2006, 22:23

Musti

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Zitat:

Original von Happy1337
Ähm habe ich dann eine Punktsymetrie vorliegen, wenn der Graph durch den Ursprung verläuft ?
Weil dann würde das ganze ja so aussehen ... $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + cx \end{eqnarray*}$
Weil bei Punktsymetrie kann ich ja nur gerade exponenten haben. Ok, dass mit der Steigung kann echt nicht sein...

Erstens gilt dass nur bei Pkt. Symmetrie im Ursprung und zweitens hat man nur ungerade Exponenten vorliegen!

21.11.2006, 22:24

RS

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Zitat:

Nein aber wenn der Graph durch den Ursprung verläuft was bedeutet dass dann für d in der allgemeinen gleichung dritten grades?

Zitat:

Original von RS
...Nur das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ hinten entfällt, denn wenn der Graph durch den Ursprung verläuft, dann ist d ja zwangsläufig = 0

21.11.2006, 22:25

Happy1337

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Ok, nur das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ fällt weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab also $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \end{eqnarray*}$

Hmm... ich weiß dann trotzdem nicht so recht weiter unglücklich

unglücklich

gruß

21.11.2006, 22:29

Musti

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So jetzt sammel deine Informationen!
Du hast $\begin{eqnarray*} P(-3/0) \end{eqnarray*}$ .
Du weißt etwas über die Steigung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ !
Und du weißt dass bei $\begin{eqnarray*} P_2(0/0) \end{eqnarray*}$ ein Extremum vorliegt!

So jetzt könntest du Gleichungen aufstellen und einzelnd nach den Koeffizienten auflösen!

21.11.2006, 22:29

RS

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Wir müssen nochmal auf den Anstieg zurückkommen.

Wenn die Gerade $\begin{eqnarray*} y=6x \end{eqnarray*}$ parallel zur Tangente ist. Was bedeutet das dann für den Anstieg der Tangente?? Und was das wiederum für den Anstieg der Funktion im gegebenen Punkt?

21.11.2006, 22:30

Musti

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Tipp: $\begin{eqnarray*} m//=m \end{eqnarray*}$

21.11.2006, 22:36

El_Snyder

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Zitat:

Original von Musti
Und du weißt dass bei $\begin{eqnarray*} P_2(0/0) \end{eqnarray*}$ ein Extremum vorliegt!

hm, ist das sicher?

21.11.2006, 22:37

Musti

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RE: Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Zitat:

Original von Happy1337

Hmm ansonsten weiß ich wohl nurnoch das ich ne doppelte Nullstelle habe.

gruß Augenzwinkern

Augenzwinkern

So stehts in der Angabe von Happy1337

21.11.2006, 22:41

pseudo-nym

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Das kann auch ein Sattelpunkt sein (wie ich schon angemerkt habe)

21.11.2006, 22:43

Musti

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Natürlich! Aber als Information reicht doch dass $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist!

Deswegen ist es in diesem Falle nicht so wichtig!

21.11.2006, 22:56

Happy1337

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Ich versteh jetzt nicht wieso $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ sein soll.
$\begin{eqnarray*} y = 6x \end{eqnarray*}$ ist ja parallel zur Tangente im Punkt $\begin{eqnarray*} (-3|0) \end{eqnarray*}$
Aber die Tangente hat doch keine Steigung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ? Forum Kloppe

Forum Kloppe

gruß...

21.11.2006, 22:58

RS

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Nein hat sie auch nicht sondern die Tangente ist ja parallel zu y=6x also hat sie denselben Anstieg. Und der wäre?

Tipp: Lineare Funktionen sind wie folgt aufgebaut:

y=m*x+n (m ist ja bekanntermaßen der Anstieg=))

21.11.2006, 22:59

Musti

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Nein das war die bedingung für die Extremstellen!

Die Steigung im P(-3/0) ist gleich 6.

d.h. $\begin{eqnarray*} f'(-3)=6 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(0/0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(0/0) \end{eqnarray*}$

Edit: Und $\begin{eqnarray*} f(-3)=0 \end{eqnarray*}$

21.11.2006, 23:04

Musti

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So ich bin dann mal weg!

Ich werde mir morgen die Beiträge weiter durchlesen falls du noch nicht auf die Lösung gekommen bist(was ich nicht glaube)!

21.11.2006, 23:06

Happy1337

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Ja sehr nett Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und danke für diesen Optimismus Big Laugh

Big Laugh

gruß

21.11.2006, 23:07

RS

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Wir können ja der Übersicht halber nochmal alles zusammen fassen!

Also wir haben die allgemeine Gleichung wie folgt schon verkürzt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax³+bx²+cx \end{eqnarray*}$

[...] edit

@ derkoch: danke hast recht! is nicht gegeben

21.11.2006, 23:10

derkoch

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Zitat:

Original von RS
Wir können ja der Übersicht halber nochmal alles zusammen fassen!

Also wir haben die allgemeine Gleichung wie folgt schon verkürzt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax³+bx²+cx \end{eqnarray*}$

Nun wissen wir ja das $\begin{eqnarray*} P(0;0) \end{eqnarray*}$ ein Extremum ist.

Das kann man aus der Aufgabestellung nicht entnehmen! unglücklich

unglücklich

Ihr zaubert euch hier Informationen aus dem Ärmel, die zufälliger weise richtig sind! Aber die Information, daß in P(0/0) ein extrema liegt ist in keiner weise aus der aufgabenstellung entnehmbar!

21.11.2006, 23:26

El_Snyder

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also, fassen wir wirklich mal zusammen smile

smile

wir haben unsere funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \end{eqnarray*}$

und die bedingungen

$\begin{eqnarray*} f(-3) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-3) = 6 \end{eqnarray*}$

EDIT:

Zitat:

Original von derkoch
Aber die Information, daß in P(0/0) ein extrema liegt ist in keiner weise aus der aufgabenstellung entnehmbar!

ich sehe gerade, dass in der aufgabenstellung explizit steht, dass der graph der funktion die x-achse im ursprung berührt, und nicht schneidet! d.h. es liegt dort in der tat eine extremstelle vor!
somit hätten wir eine weitere angabe:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 \end{eqnarray*}$

22.11.2006, 00:08

pseudo-nym

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Zitat:

ich sehe gerade, dass in der aufgabenstellung explizit steht, dass der graph der funktion die x-achse im ursprung berührt, und nicht schneidet! d.h. es liegt dort in der tat eine extremstelle vor!

FALSCH!

Ein Sattelpunkt berührt die x-Achse genau so wie es ein Extremum tun würde.

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$
stimmt, aber das muss nicht zwangsläufig ein Extremum nach sich ziehen.

22.11.2006, 00:15

derkoch

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bevor hier noch kuddelmuddel entsteht!
diese bedingung: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \quad \end{eqnarray*}$ resultiert allein aus der Tatsache, daß der Graph die x-achse berührt (Aufgabenstellung) mehr nicht!
berühren bedeutet der x-wert ist an der stelle gleich dem Ursprung,( daher auch f(0)=0 ) UND die STEIGUNG ist an der berührstelle auch gleich die der x-Achse!
und wir wissen ja welche steigung die x-achse hat!

22.11.2006, 00:16

El_Snyder

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stimmt natürlich, es könnte auch ein sattelpunkt sein, ich habe jetzt extremstelle geschrieben weil ich mir die fertige funktion geplottet habe, sry! smile

smile

smile

22.11.2006, 09:21

RS

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Also wir haben die folgenden drei Gleichungen gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(-3)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(-3)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$

genauer:

$\begin{eqnarray*} 0=a(-3)³+b(-3)²+c(-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6=3a(-3)²+2b(-3)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3a(0)²+2b(0)+c \end{eqnarray*}$

Das ganze lässt sich nun noch schöner aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} 0=-27a+9b-3c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6=27a-6b+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=c \end{eqnarray*}$

Was hier nun steht ist ein G...s... (denke mal das reicht)

22.11.2006, 15:48

Happy1337

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... ein gaußsches Gleichungssystem Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja danke, ich habe die Aufgabe mittlerweile lösen können.

gruß smile

smile

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