Punkt innerhalb eines Parallelogrammes |
| 05.01.2011, 19:51 | Anni98 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Punkt innerhalb eines Parallelogrammes Hallo, ich habe eine Aufgabe zu lösen. Die Punkte A(1/2/0), B(-1/8/1), C(-4/2/2) und D(-2/-4/1) sind gegeben - sie bilden ein Parallelogramm. Jetzt muss ich prüfen ob der Punkt P(-3/-1/1,5) in diesem liegt. Ich weiß, wie das bei einem Dreieck geht. Man muss die Gleichung einer Ebene aus den Punkten bilden, die Punktprobe durchführen und wenn r und s die drei Bedingungen erfühlen, dass jeweils r u s nicht größer als 1 und kleiner als 0 sind, sowie das r+s sind größer als 1 und kleiner als 0 ist. Dann würde der Punkt im DREIECK liegen. aber wie funktioniert das ganze beim Paralellogramm? |
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| 05.01.2011, 20:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ähnlich. Du kannst dir ja das Parallelogramm aus den zwei Teildreiecken zusammengesetzt denken. Liegt der Punkt nicht in dem einen, dann entweder in dem anderen oder überhaupt nicht innerhalb des Parallelogrammes. mY+ |
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| 05.01.2011, 20:10 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Ebene E in der das Parallelogram (A,B,C,D) liegt, wird doch vom Ortsvektor (OA) und den Richtungsvektoren (A,B) und (A,D) aufgespannt. Der Punkt P liegt mit dem Ortsvektor (OP) liegt in der Ebene E. Also kann man (OP) als Linearkombination in E darstellen. Es gibt also Faktoren s und t, so dass gilt (OP) = (OA) + s* (AB) + t * (AD) Tja ... und nun überleg dir halt mal, welche Bedingungen s und t erfüllen müssen, damit P INNERHALB des Parallelograms liegt. Am besten mal die Verhältnisse aufzeichnen ... 
[edit] @mythos: der Blick auf die zwei Teildreiecke "verdunkelt" eher den wahren Sachverhalt ... wenn du mir diese Anmerkung mal gestattest ... Die von mir genannte Lösung ist dann konform mit den Modell-Lösungen der diversen Abituraufgaben zu diesem Thema. |
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| 05.01.2011, 21:04 | Anni98 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich die Gleichung der Ebene aufstelle: E: (1/2/0) + r* (-2/8/1) + s* (-3/-6/1) wenn ich dann die Punktprobe durchführe bekomme ich für r=1 und für s=2/3 Das wäre doch dann den Bedingungen zuwider. Warum liegt P dennoch im Parallelogramm. Hab ich mich verrechnet? |
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| 05.01.2011, 21:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Anni98 Ich denke, dein Fehler ist der Richtungsvektor AB, denn dieser lautet (-2; 6; 1) Du musst übrigens alle drei Gleichungen hinsichtlich r, s testen, ansonsten kann es ja sein, dass P nicht einmal mehr in der Ebene liegt, geschweige denn innerhalb des Parallelogrammes. Dabei hätte dir auffallen müssen, dass mit deinen Lösungen für r, s die Bedingung eben schon für die Ebene nicht erfüllt ist. @BarneyG. Ja, stimmt, ich hab' zu wenig lang überlegt. Im Parallelogramm ist es dann noch einfacher ...
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| 05.01.2011, 21:44 | Anni98 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe mit diesem Richtungsvektor gerechnet und die Werte erhalten, die 8 war nur ein Tippfehler. Also ich weiß echt nicht wo der Fehler ist-.- |
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| 05.01.2011, 21:48 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dennoch hast du falsche Lösungen. Siehe noch die Ergänzung im Vorpost (EDIT). Richtig müsste sein: r = 0,5 und s = 1 Weshalb schließt du nun daraus, dass P innerhalb (?) des Parallelogrammes liegt? mY+ |
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| 05.01.2011, 22:13 | Anni98 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe falsche Schlussfolgerungen gezogen. wenn der punkt in der Ebene liegt, dann liegt er natürlich nicht im Parallelogramm. Jetzt ist alles klar 
Danke. |
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| 05.01.2011, 23:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nun, das ist jetzt gänzlich daneben gegangen! Die Ebene IST doch jene des Parallelogrammes! Damit der Punkt im Viereck liegen kann, MUSS er zuerst IN der Ebene liegen. Du solltest also nur klären, ob der Punkt in der Ebene liegt und wenn ja, wie aus den Werten von r und s geschlossen werden kann, ob er innerhalb oder ausserhalb des Parallelogrammes liegt. Wenn sich also für alle 3 Zeilen r = 0.5 und s = 1 ergibt, dann weiss man schon, dass der Punkt IN der Ebene liegt. Und nun, liegt er auch innerhalb des Viereckes? Um das zu klären, musst du dir die Werte von r, s ansehen und daraus nun die richtigen Schlüsse ziehen! mY+ |
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