ML-Schätzer

05.01.2011, 19:53	Stata	Auf diesen Beitrag antworten »
ML-Schätzer Meine Frage: Guten Abend Wieder einmal eine Frage: Es gilt $\begin{eqnarray} \theta >1 \end{eqnarray}$ und es sei $\begin{eqnarray} F_{\theta}(x)=1-\theta^{-x} \end{eqnarray}$ . Jetzt soll ich den ML-Schätzer finden. Meine Ideen: Also, erst einmal habe ich $\begin{eqnarray} F_{\theta}(x) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ differenziert um die Dichte zu erhalten und erhalte $\begin{eqnarray} f_{\theta}(x)=x\theta^{-x-1} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} log L=log \sum_{i=1}^{n}x_{i}-(\sum_{i=1}^{n}x_{i}+n)log \theta \end{eqnarray}$ Diese Funktion wird maximiert, wenn $\begin{eqnarray} (\sum_{i=1}^{n}x_{i}+n)log \theta \end{eqnarray}$ minimal wird, oder $\begin{eqnarray} \theta=min\{x_{1},...,x_{n}\} \end{eqnarray}$ , aber es gilt doch $\begin{eqnarray} \theta >1 \end{eqnarray}$ . Ist dann der ML-Schätzer $\begin{eqnarray} \theta=max\{1,min\{x_{1},...,x_{n}\}\} \end{eqnarray}$ ? Schon einmal besten Dank für die Hilfe und schönen Abend noch.
06.01.2011, 20:01	Stata	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Frage so trivial oder kann mir keiner helfen?
07.01.2011, 10:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast falsch abgeleitet. Es ist $\begin{eqnarray} f_{\theta}(x)=\frac{\partial}{\partial x}(1-\theta^{-x})= \ln {\theta} \cdot \theta^{-x} \end{eqnarray}$
08.01.2011, 15:21	Stata	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, Du hast recht. Sehr gut, gleich der erste Fehler in der ersten Zeile. Ich probiere einmal weiter: $\begin{eqnarray} log L= n log (ln \theta) -\sum_{i=1}^{n} x_{i} log\theta \end{eqnarray}$ und die erste Ableitung der log-Likelihood Funktion ist $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \theta} log L= n\frac{1}{ln \theta}\frac{1}{\theta} -\sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{1}{\theta}=0 \end{eqnarray}$ und man erhält $\begin{eqnarray} n\frac{1}{ln \theta}-\sum_{i=1}^{n} x_{i} =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{ln \theta} =\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} ln \theta =\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln \theta =\frac{1}{\overline{x}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta =e^{\frac{1}{\overline{x}}} \end{eqnarray}$ Besser? Schon mal besten Dank und schönen Samstag
08.01.2011, 15:28	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf dieses Ergebnis bin ich auch gekommen.
08.01.2011, 16:58	Stata	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für Deine Hilfe. Schönen Abend noch und vielleicht bis zum nächsten Mal.
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