Gruppenoperation, Kern

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenoperation, Kern
Meine Frage:
Es geht um Folgendes:

H ist Untergruppe in G mit . Betrachte die Operation von G auf G/H und den zugehörigen Homomorphismus .
Der Kern von wird mit bezeichnet.

(i) Zeigen Sie, dass .

(ii) Zeigen Sie die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Caley:
Für ist isomorph zu einer Untergruppe der . Besitzt G keine Normalteiler und ist , so ist G selbst Untergruppe von .


b) Es sei G eine p-Gruppe und N Untergruppe in G vom Index p. Zeigen Sie, dass N normal in G ist.

Meine Ideen:

Was ist denn die Operation von G auf G/H?

Ist damit gemeint: ??

Und wird der Homomorphismus wie folgt korrekt beschrieben?
?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir die selbe Operation meinen, dann würde ich dir empfehlen die in folgendem Thread gepostete Aufgabe zu lösen:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=439980
Dort wird der Kern der Abbildung erläutert.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe habe ich ja nicht hinbekommen.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keine eindeutige Operation von G auf der G/H.

Ich vermute, dass die Operation aus dem von mir geposteten Thread gemeint ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe einfach nicht was S(G/H) macht.

Was ist das neutrale Element in S(G/H)?

Ich kapiere das einfach nicht.

Und dann frage ich mich noch, was denn in liegt.


Nochmal ein Erklärungsversuch:

Im Kern des Homomorphismus müssen ja alle g in G liegen, die auf das neutrale Element in S(G/H) abgebildet werden. Dieses neutrale Element müsste doch eigentlich eine Permutation sein, die die Linksnebenklasse auf sich selbst abbildet. Das heißt, würde G nicht auf G/H operieren, würde sich das neutrale Element (sei dies )auszeichnen durch: .

Da nun G auf G/H operiert, erschwert sich allerdings die Situation.
Weiterhin muss ja aber gelten, wenn wieder das neutrale Element in S(G/H) ist, dass .

Wenn jetzt , gilt: .

Das g stammt also aus einem Normalteiler.

Nee, irgendwas stimmt da einfach nicht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

So, dies dürfte nun korrekt sein:

.

Wegen gilt die Behauptung.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) hat niemand reagiert.

Vielleicht kann mir aber bei (ii) kurz jemand helfen.
[Diese Aufgabe soll nur einen Punkt wert sein, von daher ist sie wohl recht leicht.]

zz.:

1. Für ist isomorph zu einer Untergruppe der .

2. Hat G keine Normalteiler und ist , ist G selbst Untergruppe von .

Meine Ideen:

zu 1.)
Ich wende den Homomorphiesatz an.
Dann gilt: .

Wozu brauche ich hier aber, dass der Index n ist? Das habe ich zumindest gar nicht verwendet.
[Vielleicht hängt es damit zusammen, dass mir nicht klar ist, warum in der Fragestellung steht: isomorph zu einer Untergruppe des .]


zu 2.) Hier bin ich mir viel unsicherer. Wenn G keine Normalteiler hat, so ist, würde ich meinen, der Kern (der ja bei einem Homomorphismus immer ein Normalteiler ist) trivial, d.h. .

Ich hätte jetzt gefolgert [wieder mit dem Homomorphiesatz]:
.

[Hier ist mir unklar, warum es heißt: ist selbst Untergruppe des . Ich habe ja nur gezeigt, dass es isomorph ist.]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
.


Müßte man nicht vorsichtiger sein und lediglich schließen? Das legt ja auch die Formulierung der Aufgabe nahe.

Aber im wesentlichen hast du alles richtig gemacht. Die Formulierung

Hat keine Normalteiler und ist , ...

der Aufgabe ist allerdings seltsam. Zunächst einmal hat eine Gruppe ja immer die zwei trivialen Normalteiler und . Man müßte also fordern, daß keine nichttrivialen Normalteiler besitzt. Den Schluß, daß der Kern von gleich ist, kannst du also nur machen, wenn der Fall, daß der Kern gleich ist, ausgeschlossen werden kann. Wann aber wäre das der Fall? Nach Aufgabenteil i) genau dann, wenn



wäre, also für . Das soll wohl durch die Bedingung verhindert werden. Ich schlage eine alternative Formulierung vor:

Hat keine nichttrivialen Normalteiler (d.h. ist eine einfache Gruppe), so findet man als Untergruppe von wieder für jedes , das als Index einer echten Untergruppe von vorkommt.

Vielleicht sprichst du deinen Professor einmal auf diese Formulierung und meinen Verbesserungsvorschlag (oder einen alternativen von dir?) an.

Und mit "ist selbst Untergruppe ..." ist gemeint: "ist selbst isomorph zu einer Untergruppe ...". Irgendwann einmal kommt in der Algebra immer der Punkt, wo man isomorphe Strukturen nicht mehr nur als isomorph ansieht, sondern die unwesentlichen Verschiedenheiten (die sich ja auch gar nicht auf die Struktur beziehen können, denn es liegt ja gerade Isomorphie vor) verschwimmen. Aus Isomorphie wird Gleichheit.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal: Sehr vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Und die alternative Formulierung klingt für mich sehr gelungen und letztendlich wesentllich klarer; ich werde sie gerne vorschlagen.

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