Verknüpfungstafel (Komposition von Abbildungsmengen)

21.11.2006, 22:41	(di)lemma	Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungstafel (Komposition von Abbildungsmengen) Hallo ihr Forengötter, ich habe mich schon mehrmals auf Matheboard nach Lösungen zu universitären Aufgaben, ähm oder als Informatiker würd ich auch sagen Problemen schlau gemacht aber zu diesem hier habe ich noch keine Lösung gefunden. Gegeben sei die Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ der Abbildungen $\begin{eqnarray} &&f_i~:~\mathbb{R}\backslash\lbrace1,0\rbrace \rightarrow \mathbb{R}\backslash\lbrace1,0\rbrace;~\mathit{i} = 1,2,...,6 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_1(x) = x, f_2(x) = x-1, f_3(x) = \dfrac{1}{x}, f_4(x) = \dfrac{1}{1-x}, f_5(x) = \dfrac{x-1}{x}, f_6(x) = \dfrac{x}{x-1} \end{eqnarray}$ und dann a) Stellen Sie für die Menge M mit der Komposition $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ als Operation eine Verknüpfungstafel auf. b) Welche Eigenschaften hat $\begin{eqnarray} \left(M,\circ)\right) \end{eqnarray}$ ? Zu a) Ich weiss dass die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ von der Def. eine Gruppe ergeben. Dass heisst dass das Ergebnis der Komposition in der Verknüpfungstabelle von bspw. $\begin{eqnarray} f_1(x) \circ f_1(x) \end{eqnarray}$ ja wieder $\begin{eqnarray} f_1(x) \end{eqnarray}$ ergibt. Da trifft ja die Eigenschaft einer Gruppe noch zu aber bei bspw. $\begin{eqnarray} f2 \circ f5 \end{eqnarray}$ habe ich als Ergebnis $\begin{eqnarray} -\dfrac{1}{x} \end{eqnarray}$ , was aber keinem Element (Abbildung) entspricht. Kann mich auch zu - etwas späterer Stunde - noch jemand aufklären? Zu b) Da es zu überprüfen ist ob es sich um eine Gruppe handelt vermute ich mal die Gruppeneigenschaften wie assoziativ, kommutativ, neutrales Element. Aber bei den Lösungen, die ich für die einzelnen Kompositionen heraus bekommen habe, fallen mir keine Gruppeneigenschaften auf ausser für alle $\begin{eqnarray} f_1(x) \circ f_i(x) \end{eqnarray}$ . Besten Dank und Gruß, Gun

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