Anzahl der Komplemente eines Unterraums

06.01.2011, 15:33

Fluffy

Anzahl der Komplemente eines Unterraums

hallo,

ich betrachte als Vektorraum $\begin{eqnarray*} V=K^5 \end{eqnarray*}$ , und habe in diesem vektorraum einen untervektorraum $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gegeben, der von den ersten 2 standardbasisvektoren aufgespannt wird, also $\begin{eqnarray*} T=<e_1,e_2> \end{eqnarray*}$ .

ich soll nun die anzahl der komplemente von T in V im falle $\begin{eqnarray*} |K|=q \end{eqnarray*}$ bestimmen.

mir ist nicht ganz klar, ob meine bisherigen überlegungen richtig sind.

Ein Komplement von T in V ist ein Unterraum $\begin{eqnarray*} U \leq V \end{eqnarray*}$ von V, so dass V die innere direkte Summe von T und U ist, also $\begin{eqnarray*} V=<T,U> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \cap U = \{0\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} dim T = 2 \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} dim U=3 \end{eqnarray*}$ sein. dann wäre doch $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von der form $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} | a,b,c \in K\} \end{eqnarray*}$ .

jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich das mit meinen (schlechten) kombinatorischen fähigkeiten richtig gelöst habe. es gäbe demnach dann $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ elemente in der menge $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} | a,b,c \in K\} \end{eqnarray*}$ , und somit dann auch $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ verschiedene komplemente zu T.

wäre das ganze so richtig gelöst, oder habe ich hier etwas falsch verstanden?

danke schonmal im voraus.

06.01.2011, 18:21

Reksilat

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RE: Anzahl der Komplemente eines Unterraums
Hallo Fluffy,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} dim T = 2 \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} dim U=3 \end{eqnarray*}$ sein. dann wäre doch $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von der form $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} | a,b,c \in K\} \end{eqnarray*}$ .

Das ist nicht richtig, denn Deine Unterräume müssen doch weiterhin Teilmenge des $\begin{eqnarray*} K^5 \end{eqnarray*}$ sein und bestehen somit aus Vektoren mit 5 Komponenten.

Ein Komplement wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 0\\0\\a \\ b \\ c \end{pmatrix} \middle| a,b,c \in K\right\} \end{eqnarray*}$ .
Allerdings ist auch $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} b\\a\\a \\ b \\ c \end{pmatrix} \middle| a,b,c \in K\right\} \end{eqnarray*}$ ein Komplement.

Die Anzahl der Elemente in einem Komplement hat übrigens nichts mit der Anzahl der Komplemente zu tun. Jedes Komplement wird $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ Elemente haben, aber es bleibt die Frage, wie viele Komplemente es gibt.

Du solltest Dir vielleicht zuerst überlegen, dass ja jede Basis eines Komplements zusammen mit $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} K^5 \end{eqnarray*}$ bildet. Es stellt sich also die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Menge $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} K^5 \end{eqnarray*}$ zu ergänzen.
Überlege Dir dazu zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, einen zu $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängigen Vektor in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ zu finden.

Dann hast Du ja natürlich einige Komplemente doppelt gezählt, da ja ein Komplement mehrere verschiedene Basen hat. Somit musst Du noch herausfinden,wie viele (geordnete) Basen ein Unterraum der Dimension 3 hat.

Gruß,
Reksilat.

07.01.2011, 11:55

Fluffy

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hallo und danke für die antwort.

Zitat:

Dann hast Du ja natürlich einige Komplemente doppelt gezählt, da ja ein Komplement mehrere verschiedene Basen hat. Somit musst Du noch herausfinden,wie viele (geordnete) Basen ein Unterraum der Dimension 3 hat.

also eine basis besteht dann in diesem fall aus 3 vektoren.

für den ersten vektor habe ich $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ möglichkeiten, diesen zu wählen. aber den nullvektor darf ich nicht mitzählen, also habe ich $\begin{eqnarray*} q^3-1 \end{eqnarray*}$ möglichkeiten. Ich nenne diesen mal $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ .

für den zweiten basisvektor habe ich wieder $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ möglichkeiten, diesen zu wählen, nur jetzt muss ich aufpassen, dass ich keinen der $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ abhängigen vektoren nehme. dann habe ich also $\begin{eqnarray*} q^3-q \end{eqnarray*}$ möglichkeiten, $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ zu wählen.

beim dritten wären es dann $\begin{eqnarray*} q^3-q^2 \end{eqnarray*}$ möglichkeiten.

insgesamt erhalte ich dann also $\begin{eqnarray*} (q^3-1)*(q^3-q)*(q^3-q^2) \end{eqnarray*}$ möglichkeiten, eine basis für einen unterraum der dimension 3 zu wählen.

wäre das so in ordnung?

07.01.2011, 12:51

Reksilat

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Das ist soweit korrekt. smile

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