Untere Grenze mit Tschebyscheff-Ungl

06.01.2011, 15:45

T0b1a5

Untere Grenze mit Tschebyscheff-Ungl

Tag an Alle,

habe bei einer recht einfachen Aufgabe ein Problem mit der Tschebyscheff-Ungleichung. Also:

Seien $\begin{eqnarray*} X_{1},..,X_{98} \end{eqnarray*}$ reelle, unabhängige, identisch verteile Zufallsvariablen, die gemäß einer Gleichverteilung auf den 5 Punkten $\begin{eqnarray*} \left\{ -2,-1,0,1,2\right\} \end{eqnarray*}$ verteilt sind.

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} E\left(X_{1}\right)=0,Var\left(X_{1}\right)=2 \end{eqnarray*}$ trivial
Bestimmen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten für das zusammengesetzt Ereignis $\begin{eqnarray*} \left\{ -21<\underset{i=1}{\overset{98}{\sum}X_{i}}\leq21\, oder\,\underset{i=1}{\overset{98}{\sum}}>28\right\} \end{eqnarray*}$

(i)durch Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes ohne Stetigkeitskorrektur
(ii)durch Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes mit Stetigskeitskorrektur. Runden Sie und verzichten SIe auf eine mögliche Interpolation der Normalverteilungstabelle

für (i) 0,87009, für(ii) 0,87899
Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses $\begin{eqnarray*} \left\{ -21<\underset{i=1}{\overset{98}{\sum}X_{i}}<21\right\} \end{eqnarray*}$

Bei der c) komme ich leider nicht weiter. Für meine Ungleichung gilt:
$\begin{eqnarray*} P\left(\left|\underset{i=1}{\overset{98}{\sum}}X_{i}-E\left(\underset{i=1}{\overset{98}{\sum}}X_{i}\right)\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{1}{\epsilon^{2}}\cdot Var\left(\underset{i=1}{\overset{98}{\sum}}X_{i}\right) \end{eqnarray*}$
da der Erwartungsungswert Null ist und aus den Rechenregeln für die Varianz folgt:
$\begin{eqnarray*} P\left(\left|\underset{i=1}{\overset{98}{\sum}}X_{i}\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{196}{\epsilon^{2}} \end{eqnarray*}$

Nun komme ich nicht weiter. Ich weiß noch, dass sich die Summe von gleich verteilten Zufallsvariablen bei steigender Anzahl der Normalverteilung nähert, aber hier ist wirklich Schluss.

Wie gehts weiter?

Danke und Gruß

06.01.2011, 15:53

René Gruber

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Zitat:

Original von T0b1a5
Ich weiß noch, dass sich die Summe von gleich verteilten Zufallsvariablen bei steigender Anzahl der Normalverteilung nähert

Das ist doch das, was du in b) verarbeitet hast. Für c) ist das irrelevant.

Setz doch einfach $\begin{eqnarray*} \epsilon=21 \end{eqnarray*}$ in deinen Tschebyscheff ein und denk dran, dass es dir nicht um die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \left| \sum_{i=1}^{98} X_i \right| \geq 21 \end{eqnarray*}$ geht, sondern um dessen Gegenereignis.

06.01.2011, 16:03

T0b1a5

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Also das macht Sinn, nach kurzer Rechnung (nur einsetzen und kürzen), erhalte das Gegenereignis mit $\begin{eqnarray*} \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ . Wenn man mal mit gesundem Menschenverstand drüber nachdenkt, kann das stimmen, aber mir leuchtet nur bedingt ein, dass ich $\begin{eqnarray*} \epsilon=21 \end{eqnarray*}$ setze.
Was würde ich machen, sofern ich eine untere Schrank für $\begin{eqnarray*} P({-20<...<21}) \end{eqnarray*}$ haben möchte?

06.01.2011, 16:22

René Gruber

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Zitat:

Original von T0b1a5
Was würde ich machen, sofern ich eine untere Schrank für $\begin{eqnarray*} P({-20<...<21}) \end{eqnarray*}$ haben möchte?

Tschebyscheff ist eben nicht für alle Situationen sinnvoll anwendbar.

Außerdem ist Tschebyscheff zumeist brachial grob, und deshalb mehr von beweistechnischem Interesse denn zur tatsächlichen Wahrscheinlichkeitsabschätzung gebräuchlich - du siehst es ja auch an den $\begin{eqnarray*} \geq 0.555 \end{eqnarray*}$ vs. den tatsächlichen $\begin{eqnarray*} \approx 0.87 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du wirklich genauere, wasserdichte Abschätzungen für diese Wahrscheinlichkeit haben willst, dann empfehle ich eher Berry-Esseen, was eine quantitative Bewertung der Normalverteilungsapproximation b) ermöglicht, die i.d.R. deutlich genauer als Tschebyscheff ist.

06.01.2011, 16:33

T0b1a5

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Danke

An Berry-Esseén hatte ich nicht mehr gedacht. War der letzte Satz in unserem Kapitel. Langsam kann ich mich mit der Stochastik anfreunden smile

06.01.2011, 16:51

René Gruber

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Um die Ergebnisse einordnen zu können, kannst du natürlich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

$\begin{eqnarray*} \left[ -21< \sum_{i=1}^{98} X_i \leq 21 \,\vee\, \sum_{i=1}^{98} X_i > 28 \right] \end{eqnarray*}$

auch direkt über die entsprechende Faltung berechnen, das geht selbst mit einem Excel-Sheet recht schnell: $\begin{eqnarray*} p\approx 0.88686 \end{eqnarray*}$

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