Beweis |
| 06.01.2011, 16:20 | missy54 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis Es gibt eine bijektive Funktion von N0 (=natürliche Zahlen inklusive 0) nach Z (ganze Zahlen). Beweis: Wir behaupten, dass durch die Zuordnungsvorschrift f(m) = k falls es ein k aus N0 gibt: m=2k-1 -k falls es ein k aus N0 gibt: m=2k eine bijektive Funktion f: N0Z definiert wird. Es gilt: für k aus N0, ist k,-k aus Z und jede Zahl m aus N0 ist entweder gerade oder ungerade. Also wird jedes m aus N0 genau einem k (bzw. –k) aus Z zugeordnet. Dadurch ist d Funktion. Zeige: f surjektiv: sei r aus Z beliebig. Fallunterscheidung: 1) r größer 0: Dann ist m=2r-1 aus N0 und f(m)=r. 2) r kleiner oder gleich 0: Dann ist m=-2r aus N0 und f(m)=r. Zeige f injektiv. Seien m,n aus N0 mit f(n) = f(m) = r aus Z. Fallunterscheidung: 1) r größer 0: dann ist m=2r-1=n 2) r kleiner gleich 0: dann ist m=-2r=n Daraus folgt f injektiv und surjektiv und daraus folgt f bijektiv. Ich verstehe schon gleich am Anfang die Zuordnungsvorschrift nicht. Hoffe, es kann mir irgendjemand helfen... |
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| 06.01.2011, 16:48 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei dieser Schreibweise verstehe ich auch recht wenig. Was ist denn an der Zuordnungsvorschrift unklar? Du betrachtest bei der Zuordnung ein beliebiges Fall 1: Ist m ungerade, dann gilt m=2k-1 für ein Dieses k bildest du ab auf k Fall 2: Ist m gerade, dann gilt m=2k für ein Dieses k bildest du ab auf -k Mach dir mal die die Zahlen von 0-10 klar, worauf diese denn abgebildet werden, dann sollte dir intuitiv klar werden dass diese Funktion auch bijektiv ist |
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