Inneres Produkt, Äquivalenzen

06.01.2011, 16:39

Gast11022013

Inneres Produkt, Äquivalenzen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Gruppe, $\begin{eqnarray*} N_1,...,N_r \vartriangleleft G \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass die Aussagen (a) bis (c) äquivalent sind:

(a)
(i) $\begin{eqnarray*} G=N_1...N_r \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} N_i\cap(N_1...N_{i-1}N_{i+1}...N_r)=\left\{e\right\},i=1,...,r \end{eqnarray*}$

(b)
(i) Für $\begin{eqnarray*} i\neq j \land x\in N_i,y\in N_j \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} xy=yx \end{eqnarray*}$ .
(ii) Jedes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ist eindeutig darstellbar als Produkt $\begin{eqnarray*} g=a_1*...*a_r, a_i\in N_i, i=1,...r \end{eqnarray*}$

(c)
(i) Für $\begin{eqnarray*} i\neq j \land x\in N_i,y\in N_j \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} xy=yx \end{eqnarray*}$ .
(ii) $\begin{eqnarray*} G=N_1...N_r \end{eqnarray*}$ , und das neutrale Element $\begin{eqnarray*} e\in G \end{eqnarray*}$ hat eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray*} e=a_1*...*a_r, a_i\in N_i, i=1,...r \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage betrifft nur den Schritt $\begin{eqnarray*} (b)\Rightarrow (c) \end{eqnarray*}$ . Alle anderen Beweisschritte habe ich.

Stimmt Folgendes:

(c)(i) gilt, da (b)(i)=(c)(i). Es handelt sich also um die selbe Aussage.

Kann man jetzt bei (c)(ii) einfach sagen:
$\begin{eqnarray*} G=N_1...N_r \end{eqnarray*}$ , da laut (b)(ii) jedes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ eindeutig dargestellt werden kann als $\begin{eqnarray*} g=a_1*...*a_r \end{eqnarray*}$ und dass e eine eindeutige Darstellung besitzt, da $\begin{eqnarray*} e=gg^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} gg^{-1} \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Darstellung besitzt?

Meine Ideen:
Dieser Schritt verwirrt mich ein bisschen.
Ich glaube auch, dass er nur eingebaut ist, damit der Schritt von (b) nach (a) leichter fällt.

06.01.2011, 17:11

Math1986

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RE: Inneres Produkt, Äquivalenzen

Zitat:

Original von Dennis2010
(c)(i) gilt, da (b)(i)=(c)(i). Es handelt sich also um die selbe Aussage.

Kann man jetzt bei (c)(ii) einfach sagen:
$\begin{eqnarray*} G=N_1...N_r \end{eqnarray*}$ , da laut (b)(ii) jedes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ eindeutig dargestellt werden kann als $\begin{eqnarray*} g=a_1*...*a_r \end{eqnarray*}$ und dass e eine eindeutige Darstellung besitzt, da $\begin{eqnarray*} e=gg^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} gg^{-1} \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Darstellung besitzt?

Der Beweis ist so okay, nur bei e etwas schwammig

Beim e kannst du kürzer so argumentieren:
Da JEDES $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Darstellung besitzt gilt dies insbesondere auch für das e

06.01.2011, 17:19

Gast11022013

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RE: Inneres Produkt, Äquivalenzen
Achja! Danke für diesen Hinweis!

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