Für welche Werte von x konvergiert die Reihe

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Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche Werte von x konvergiert die Reihe
Meine Frage:
das ist mein problemAugenzwinkern

die Aufgabenstellung dazu lautet: "Untersuchen Sie, für welche Werte von x die folgende Reihe konvergiert."

Wie kann ich da überhaupt ansetzen??

Bitte helft mir

Meine Ideen:
ich denke es hat irgendetwas mit dem Quotienten- oder Wurelkriterium zu tun, aber ich weiß leider nich wie man es auswerten soll, damit der Bereich von x dabei herauskommt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Für welche Werte von x konvergiert die Reihe
Du hast eine Potenzreihe vorliegen, diese konvergiert im Entwicklungspunkt und in einem Konvergenzradius um den Entwicklungspunkt, wie kann man diesen Konvergenzradius ermitteln?

Schreibe zuerst einmal die Reihe in die Form und nenne den Entwicklungspunkt.
Schneutze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja so vorgehen.

Edit von lgrizu: Lösung entfernt, siehe Prinzip
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

also der Radius müsste sein. Aber leider scheitere ich wieder gnadenlos den Radius zu berechnen. traurig

Und der Entwicklungspunkt müsste eigentlich doch 0 sein, weil doch nichts abgezogen wird oder?? Freude

Wie gibt man nun die x-Werte an?? verwirrt

Bitte helft ihr Mathedei Gott
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so weit richtig.

Dein Laufindex ist n und nicht k, aber wie schaut denn die Folge aus?


Du kannst alternativ auch benutzen, dass der Konvergenzradius ist, ist vielleicht ein wenig einfacher.
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

also die Folge ist doch nur der Koeffizient n! oder?? smile

aber was macht man beim Radius ausrechnen mit dem x?? verwirrt
komme jetzt auf die form , da sich ja sehr viel kürzen lässt.
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hravebaul
also die Folge ist doch nur der Koeffizient n! oder?? smile

Nein.


Zitat:
Original von Hravebaul
aber was macht man beim Radius ausrechnen mit dem x?? verwirrt


Eine Potenzreihe hat die Form , um den Konvergenzradius zu berechnen benutzen wir die Folge , enthält diese ein x?

Zitat:
Original von Hravebaul
komme jetzt auf die form , da sich ja sehr viel kürzen lässt.


Das solltest du noch mal überdenken.


Siehe noch mal hier:

Zitat:
Original von lgrizu


Schreibe zuerst einmal die Reihe in die Form
Schneutze Auf diesen Beitrag antworten »

dein an = n!*(1/n)^n also der faktor vor x^n
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

@Schneutze:

Lies bitte mal unser Prinzip.

Ich denke, mit ein wenig Überlegung hätte Hravebaul das auch selbst gesehen.

Zum zweiten schickt es sich nicht, in Threads einzugreifen, in denen bereits ein Helfer am Werk ist (so lange dieser online ist und keinen Mist baut).
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin nun auch auf a(n) gekommen Augenzwinkern

aber ich hänge wieder mal beim radius r= verwirrt

wie bekomme ich denn dieses hoch n weg?? dann würd ich wenigstens auf einen denkbaren Wert kommen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast richtig gerechnet, betrachte nun den Grenzwert, wenn n gegen unendlich geht, so geht gegen 1 und , also ist dein Konvergenzradius 1.

Nun musst du noch die Ränder überprüfen, im inneren des Konvergenzradius ist die Reihe konvergent, über die Ränder kann man keine Aussage treffen.
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, endlich hab ich den Radius mit dem Wert 1 errechnet Hammer

also geht der Konvergenzbereich von -1 bis +1 oder?

sind die Grenzen -1&+1 konvergent?? verwirrt

und zum Entwicklungspunkt
--> der ist folglich 0, aber was bedeutet der Entwicklungspunkt und wie begrenze ich nun die x-Werte?? verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Reihe ist im Entwicklungspunkt (richtig, das ist 0) konvergent und in einem Radius um den Entwicklungspunkt, dieser Radius ist 1, also konvergiert deine Reihe für , also im Intervall .

Die Ränder sind auch, wie du richtig bemerkt hast -1 und 1.

An den Rändern ist nun noch auf Konvergenz zu prüfen, dazu kann man die bekannten Konvergenzkriterien benutzen.
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

Demnach muss ich also einmal für x=-1 & x=+1 einsetzen und nun jeweils mit dem Quotientenkriterium prüfen ob es gegen einen festen Wert(--->konv) oder gegen
(---->divergent) läuft.
Klappt dieses Verfahren??? Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Also es ist richtig, dass du -1 bzw. 1 einsetzen musst, um zu überprüfen, ob die Reihe für diese Werte auch konvergiert.

Für x=1 kann man ohne weiteres das Quotientenkriterium verwenden, für x=-1 würde ich Leibniz nehmen.
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Danke schon mal für deine Bemühung mir mein Studium zu erleichtern^^

Also für x=+1 mit Quotientenkriterium läuft es gegen e, aber für x=-1 bekomme ich mit Leibniz eine Divergenz, da es nicht monoton fallend ist.
Gilt dies als Begründung, sodass ich -1<x<=1 schreiben kann??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte keine monoton fallende Nullfolge sein? verwirrt
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Widerspruchsbeweis a(n)<a(n)+1 komme ich zu dem Schluß
n+1<n^n ja und das ist doch richtig und so ist die ürsprungliche Behauptung falsch oder unterliegt dem Beweis ein Rechenfehler?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist, damit a_n monoton fallend: .

Nun sollte uns der Bruch bekannt vorkommen:

Zitat:
Original von Hravebaul



und das ist mit Sicherheit nicht kleiner/gleich 1, wenn wir aber den Kehrwert bilden wird ein Schuh draus und wir erhalten, dass die Folge monoton fallend ist, aus folgt nämlich .
Hravebaul Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich blinder Dummkopf Hammer nun ist es ja klar^^

Vielen vielen dank für deine Hilfe, ich hoffe ich habe dir nicht zu viel Aufwand gemacht smile

Ich denke ich habs nun drauf
thx Wink
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Kleinigkeiten noch:

Du hast oben geschrieben, dass die Reihe für x=1 gegen e konvergiert, das tut sie nicht, und ich habe mich vertan, als ich dir das Quotientenkriterium vorgeschlagen habe, denn wir finden kein festes q für das gilt , dieser Bruch nähert sich beliebig nah an 1 und somit versagt das Quotientenkriterium.

Das Majorantenkriteriumhilft aber weiter, eine konvergente Majornte ist schnell gefunden.
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