Basis? Koordinaten von e bzgl. Basis

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Dani900201 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis? Koordinaten von e bzgl. Basis
Meine Frage:
Gegeben seien die Spaltenmatrizen
a= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
b= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
c= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
d= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
e= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Zeigen Sie, dass {a,b,c,d} eine Basis des \mathbb R 4*1 bilden und geben sie die Koordinaten von e bzgl. der Basis an.

Meine Ideen:
Ich bitte euch um Hilfe! Vielen Dank.
Hab nicht einmal einen Lösungsansatz. unglücklich
dupla Auf diesen Beitrag antworten »

latex benutzen..

als tipp: im bilden 4 linear unabhängige vektoren bereits eine basis, also lineare unabhängigkeit überprüfen(Gauß...)

um einen Vektor in koordinaten bezüglich einer basis darzustellen, ist nur das einfache lösen eines inhomogenen LGS (mit entsprechender rechten seite e) nötig(ebenfalls Gauß..
 
 
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

(1) +2 - + = 0
(2)2 = 0
(3) 3+ = 0
(4) 4- + + = 0

-> aus (2) = 0
-> aus (2) in (3) = 0
und dann???

bleibt noch - + = 0
und
+ = 0

.....
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

und dann???? verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast noch zwei Unbekannte und die beiden Gleichungen 1) und 4) übrig, sollte man doch lösen können....
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

= 0
= 0

d.h. lin. unabhängig!

und dann?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun stellst du den Vektor e als Lineakombi von a,b,c,d dar.
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir verraten wie das geht?
Hat das etwas mit der Linearen Hülle zu tun?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst doch einen Vektor als Linearkombination einer Basis darstellen können....

Zu lösen ist:

, die Lösung ist der Koordinatenvektor .
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich wäre hier nicht im Forum wenn ich das alles wüsste...
und ich weiß leider gar nicht was mit Basis und Linearkombination gemeint ist.







2* + (-1) * + 1* + 2* =


Sind das dann die Koordinaten von e bzgl. der Basis???

Bildet dann {a,b,c,d} eine Basis des ???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, a,b,c,d bildet eine Basis des , du hast die Vektoren doch auf lineare Unabhängigkeit geprüft, n linear unabhängige Vektoren eines n-dimensionalen Raums bilden eine Basis des Raums.

Du hast auch richtig gerechnet, wie lautet nun der Koordinatenvektor von e bezügleich der Basis {a,b,c,d} ?
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch



oder? Ich dachte das wären die Koordinaten von bzgl. der Basis.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, lies noch mal einen meiner Beiträge:

Zitat:
Original von lgrizu
Zu lösen ist:

, die Lösung ist der Koordinatenvektor .
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

steh total auf dem schlauch...

was hab ich denn da dann ausgerechnet???
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dani90
2* + (-1) * + 1* + 2* =


Sind das dann die Koordinaten von e bzgl. der Basis???


Hier hast du doch richtig gerechnet.

Welche Koordinaten hat nun also e bezüglich der Basis {a,b,c,d} ?

Benutze dazu:

Zitat:
Original von lgrizu

, die Lösung ist der Koordinatenvektor .


Welches sind deine alphas?
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab keinen plan traurig traurig traurig traurig traurig
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch hier richtig gerechnet:

Zitat:
Original von Dani90
2* + (-1) * + 1* + 2* =


Sind das dann die Koordinaten von e bzgl. der Basis???



Nun ist , der Koordinatenvektor ist also welcher?
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja e.
aber der war doch eh gegeben....
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Das kann doch nicht sein, ich habe dir die alphas genannt, habe dir gesagt, wie du diese in den Koordinatenvektor einzutragen hast und du meinst immer noch, der Koordinatenvektor von e bezüglich der Basis {a,b,c,d} sei e selbst...?!

Jetzt konzentrier dich mal, du bist auf einer Hochschule, da sollte man doch erwarten können, dass, wenn man dir dieses vorgibt:

Zitat:
Original von lgrizu
ist der Koordinatenvektor .


Zitat:
Original von lgrizu


Du das dann einfach stumpf einsetzen kannst.
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist richtig.
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

aber das doch trotzdem e!
Das wurde in der angabe gegeben:


e=
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hatte die Aufgabenstellung aus den Augen verloren, der Fehler ist bereits früher, ich dachte, es wäre e=(1,4,5,12).

Noch mal von Anfang, du sollst den Vektor e=(2,-1,1,2) als Linearkombination der Vektoren a,b,c,d darstellen, also das LGS lösen:

.

Nun setze die Vektoren mal ein und löse auf, der Vektor ist der gesuchte Koordinatenvektor.

Zitat:
2* + (-1) * + 1* + 2* =


Hier hast du folgendes gerechnet:

, wobei A die M_atrix ist, die als Einträge die Vektoren a,b,c,d hat.
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich folgendes Gleichungssystem:

+2-+=2
2=-1
3+=1
4-++=2
->
=-1/2
=5/2
=9/2
=2

->
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Freude , ist richtig.
Dani90 Auf diesen Beitrag antworten »

juhuuuu jetzt ergibt es einen sinn smile dankeschön!
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