Basis? Koordinaten von e bzgl. Basis |
06.01.2011, 17:10 | Dani900201 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Basis? Koordinaten von e bzgl. Basis Gegeben seien die Spaltenmatrizen a= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} b= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} c= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} d= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} e= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} Zeigen Sie, dass {a,b,c,d} eine Basis des \mathbb R 4*1 bilden und geben sie die Koordinaten von e bzgl. der Basis an. Meine Ideen: Ich bitte euch um Hilfe! Vielen Dank. Hab nicht einmal einen Lösungsansatz. |
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06.01.2011, 17:21 | dupla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
latex benutzen.. als tipp: im bilden 4 linear unabhängige vektoren bereits eine basis, also lineare unabhängigkeit überprüfen(Gauß...) um einen Vektor in koordinaten bezüglich einer basis darzustellen, ist nur das einfache lösen eines inhomogenen LGS (mit entsprechender rechten seite e) nötig(ebenfalls Gauß.. |
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06.01.2011, 17:54 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(1) +2 - + = 0 (2)2 = 0 (3) 3+ = 0 (4) 4- + + = 0 -> aus (2) = 0 -> aus (2) in (3) = 0 und dann??? bleibt noch - + = 0 und + = 0 ..... |
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06.01.2011, 18:07 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und dann???? |
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06.01.2011, 18:19 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast noch zwei Unbekannte und die beiden Gleichungen 1) und 4) übrig, sollte man doch lösen können.... |
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06.01.2011, 18:42 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
= 0 = 0 d.h. lin. unabhängig! und dann? |
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06.01.2011, 18:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und nun stellst du den Vektor e als Lineakombi von a,b,c,d dar. |
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07.01.2011, 10:55 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du mir verraten wie das geht? Hat das etwas mit der Linearen Hülle zu tun? |
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07.01.2011, 12:10 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du wirst doch einen Vektor als Linearkombination einer Basis darstellen können.... Zu lösen ist: , die Lösung ist der Koordinatenvektor . |
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07.01.2011, 12:41 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, aber ich wäre hier nicht im Forum wenn ich das alles wüsste... und ich weiß leider gar nicht was mit Basis und Linearkombination gemeint ist. 2* + (-1) * + 1* + 2* = Sind das dann die Koordinaten von e bzgl. der Basis??? Bildet dann {a,b,c,d} eine Basis des ??? |
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07.01.2011, 12:45 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, a,b,c,d bildet eine Basis des , du hast die Vektoren doch auf lineare Unabhängigkeit geprüft, n linear unabhängige Vektoren eines n-dimensionalen Raums bilden eine Basis des Raums. Du hast auch richtig gerechnet, wie lautet nun der Koordinatenvektor von e bezügleich der Basis {a,b,c,d} ? |
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07.01.2011, 13:35 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist doch oder? Ich dachte das wären die Koordinaten von bzgl. der Basis. |
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07.01.2011, 13:39 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, lies noch mal einen meiner Beiträge:
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07.01.2011, 13:46 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
steh total auf dem schlauch... was hab ich denn da dann ausgerechnet??? |
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07.01.2011, 13:48 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier hast du doch richtig gerechnet. Welche Koordinaten hat nun also e bezüglich der Basis {a,b,c,d} ? Benutze dazu:
Welches sind deine alphas? |
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07.01.2011, 14:01 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich hab keinen plan |
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07.01.2011, 14:04 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast doch hier richtig gerechnet:
Nun ist , der Koordinatenvektor ist also welcher? |
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07.01.2011, 14:07 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist ja e. aber der war doch eh gegeben.... |
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07.01.2011, 14:12 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kann doch nicht sein, ich habe dir die alphas genannt, habe dir gesagt, wie du diese in den Koordinatenvektor einzutragen hast und du meinst immer noch, der Koordinatenvektor von e bezüglich der Basis {a,b,c,d} sei e selbst...?! Jetzt konzentrier dich mal, du bist auf einer Hochschule, da sollte man doch erwarten können, dass, wenn man dir dieses vorgibt:
Du das dann einfach stumpf einsetzen kannst. |
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07.01.2011, 14:27 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
07.01.2011, 14:34 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ist richtig. |
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07.01.2011, 14:37 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber das doch trotzdem e! Das wurde in der angabe gegeben: e= |
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07.01.2011, 14:43 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, ich hatte die Aufgabenstellung aus den Augen verloren, der Fehler ist bereits früher, ich dachte, es wäre e=(1,4,5,12). Noch mal von Anfang, du sollst den Vektor e=(2,-1,1,2) als Linearkombination der Vektoren a,b,c,d darstellen, also das LGS lösen: . Nun setze die Vektoren mal ein und löse auf, der Vektor ist der gesuchte Koordinatenvektor.
Hier hast du folgendes gerechnet: , wobei A die M_atrix ist, die als Einträge die Vektoren a,b,c,d hat. |
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07.01.2011, 15:01 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann habe ich folgendes Gleichungssystem: +2-+=2 2=-1 3+=1 4-++=2 -> =-1/2 =5/2 =9/2 =2 -> |
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07.01.2011, 15:05 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
, ist richtig. |
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07.01.2011, 15:17 | Dani90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
juhuuuu jetzt ergibt es einen sinn dankeschön! |
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