Doppelpost! Frage zum Eisensteinkriterium

06.01.2011, 17:47	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Eisensteinkriterium Hallo, Ich habe eine Frage zum Eisensteinkriterium. Und zwar haben wir das so aufgeschrieben: Sei R ein Integritätsring und $\begin{eqnarray} P=a_0 + \ldots + a_nX^n \end{eqnarray}$ ein Polynom vom Grad n größer gleich 1 über R, das den folgenden Bedingungen genügt: 1. P ist primitiv, d.h. $\begin{eqnarray} ggT(a_0, \ldots a_n)=1 \end{eqnarray}$ 2. Es gibt ein Primelement $\begin{eqnarray} p \in R \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} P\|a_0 , \ldots a_{n-1} \end{eqnarray}$ , p teilt nicht $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ sowie p² teilt nicht $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ . Dann ist P irreduzibel in R[X]. Jetzt geht es um das Polynom $\begin{eqnarray} P=2x^4+200X^3+2000X^2+20000X+20 \end{eqnarray}$ . In der Lösung steht, dies wäre irreduzibel über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray}$ , da es dem Eisensteinkriterium für P=5 genügt. Meiner Meinung nach genügt es nur dem 2. Punkt der Definition. Das Polynom ist nämlich nicht primitiv, da der größte gemeinsame Teiler aller Koeffizienten 2 ist. Damit darf man dieses Kriterium doch gar nicht anwenden! Gehe ich da richig, oder darf man das Kriterium anwenden, obwohl das Polynom nicht primitiv ist? Wäre super, wenn ihr mir hier helfen könnt. lg Duude Hier die Lösungshinweise die ich gerade in einem anderen Thread zu meiner Aufgabe gefunden habe: [attach]17389[/attach]
06.01.2011, 18:40	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll der Mist? Das ist doch exakt das gleiche Problem wie im anderen Thread. In $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ist 2 eine Einheit und somit ist das Polynom primitiv. Geschlossen Gruß, Reksilat.

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