Gruppenhomomorphismus Verständnisproblem

06.01.2011, 18:29

Math-ftw

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Gruppenhomomorphismus Verständnisproblem

Meine Frage:
Ich habe Verständnisprobleme mit der Defintion vom Gruppenhomomorphismus. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand eingehend erklären könnte wie das funktioniert.
Eigentlich scheint mit die Defintion nicht allzu schwer zu sein:
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ heißt Gruppenhomomorphismus, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall g1,g2 \in G : f(g_1 * g_2) = f(g_1) \cdot f(g_2) \end{eqnarray*}$

Wobei * die Operation in G ist und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ die Operation der Gruppe H.

Meine Ideen:
Heißt das jetzt, dass ich mir in den jeweiligen Gruppen G und H die Verknüpfungstafel ansehe und dann schaue ob die Elemente in der Spalten/Zeilen analog sind zu der anderen Gruppe (bloß mit anderen Namen)?

Nehmen wir z.B. G = {e ; g ; *} (e = neutrales Element) und H = Z/2Z = {[0];[1]; +}.
Wenn man sich beide Verknüpfungstafeln ansieht, sind beide völlig analog, d.h. da wo ein e in der Tabelle steht, steht in der Tabelle von H exakt an der selben Stelle eine [0]. Und Analog mit g und [1].

Habe ich das richtig verstanden?

Danke vielmals.

06.01.2011, 19:31

Math1986

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Nein, das was du meinst ist ein Isomorphismus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruppenhomomorphismus hat im Allgemeinen nichts mit der Struktur von H zu tun: Die Abbildung, die alle Elemente von G auf das neutrale Element von H abbildet ist beispielsweise auch ein Gruppenhomomorphismus

06.01.2011, 19:31

Elvis

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Ganz so einfach ist es nicht. Das ist nur der Spezialfall (winzig kleine Gruppe) eines Spezialfalls (Isomorphismus). Winzig kleine Gruppen kann man in Gruppentafeln hinschreiben und miteinander vergleichen. Bei Gruppen mit mehr als 168 Elementen macht das niemand mehr mit großem Nutzen. Wenn die beiden Gruppen bis auf Bezeichnung identisch sind und der Homomorphismus diese Zuordnung darstellt, so nennt man die Gruppen isomorph. Im allgemeinen ist ein Homomorphismus nicht bijektiv, weder injektiv, noch surjektiv.

06.01.2011, 19:39

Math-ftw

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Hm ok, weil ich hier an einer Aufgabe sitze:
Ich soll alle Gruppenhomorphismen finden von Z/3Z nach Z/6Z . Insgesamt sollen es wohl 3 sein.
Ich stehe etwas auf dem Schlauch. Kann mir jemand erklären (viell anhand der Definition) wie ich ungefähr vorgehen muss?

06.01.2011, 21:35

Reksilat

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[QUOTE=Math1986]Gruppenhomomorphismus hat im Allgemeinen nichts mit der Struktur von H zu tun[/QUOTE]
Das ist so nicht ganz richtig, denn das Bild des Homomorphismus ist eine Untergruppe von H.
Außerdem findet man in der Gruppe G einen Normalteiler, den Kern des Homomorphismus: $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(f)=\{x\in G|f(x)=e_H\} \end{eqnarray*}$ .
Zudem ist f dann immer ein Isomorphismus zwischen der Faktorstruktur $\begin{eqnarray*} G/{\rm Ker}(f) \end{eqnarray*}$ und dem Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Das ist übrigens der Homomorphiesatz.

In Deinem Fall solltest Du also schauen, wie groß der Kern werden kann. Dann weißt Du auch, welche Größe das Bild entsprechend haben muss.

Gruß,
Reksilat.

07.01.2011, 09:38

Math-ftw

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Kann ich jetzt nicht einfach alle Elemente aus Z/3Z sukzessive in die obige Gleichung (aus der Definition) einsetzen und gucken, ob bei der linken Seite/rechten Seite der Gleichung dasselbe herauskommt?

zB

$\begin{eqnarray*} f(0 + 0) = f(0) + f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt in diesem Fall liegt ein Gruppenhomomorphismus vor.
Aber das macht irgendwie keinen Sinn, denn das funktioniert ja mit allen Elementen von Z/3Z, wodurch ich mehr als 3 Gruppenhomomorphismen herausbekomme.

Ich habe irgendwas noch falsch verstanden. Ich bitte um Hilfe.

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07.01.2011, 12:46

Reksilat

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Wie willst Du denn Elemente einsetzen, wenn Du noch nicht mal weißt, wie f aussieht?
Klar, Du weißt wahrscheinlich schon, dass $\begin{eqnarray*} f(e_G)=e_H \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} f([0]_3)=[0]_6 \end{eqnarray*}$ .

Nun gibt es aber zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} f([1]_3) \end{eqnarray*}$ insgesamt sechs Möglichkeiten, worauf es abgebildet werden kann. – Bei einigen davon wirst Du einen Widerspruch konstruieren können, bei anderen kann ein Homomorphismus entstehen.

Du kannst Dir auch überlegen, dass man mit dem Bild der $\begin{eqnarray*} [1]_3 \end{eqnarray*}$ auch schon festlegt, worauf $\begin{eqnarray*} [2]_3 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird und somit die ganze Abbildung eindeutig bestimmt ist.

Du solltest aber langsam mal ein wenig in Deinem Hefter nachgucken, was Ihr so alles schon zum Thema Homomorphismen gemacht habt. Zum Homomorphiesatz hast Du Dich jetzt nicht geäußert. Habt Ihr den Begriff der Ordnung eines Elements schon?

Gruß,
Reksilat.

PS: Bezeichungen: $\begin{eqnarray*} [x]_n \end{eqnarray*}$ ist die Restklasse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{[0]_3,[1]_3,[2]_3\} \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 16:36

Math-ftw

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Hallo,

Nein, den Homomorphiesatz hatten wir nicht behandelt.

Wir hatten:
-Gruppen, Untergruppen
-Gruppenhomomorphismus
-Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen (
$\begin{eqnarray*} (1)f(e_G) = e_H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2)\forall g \in H : f(g^{-1}) = (f(g))^{-1} \end{eqnarray*}$ , mit Beweisen)
- Rechnen in Gruppen
- Ordnungen von Gruppen

Zitat:

Wie willst Du denn Elemente einsetzen, wenn Du noch nicht mal weißt, wie f aussieht?

Na, ich dachte ich könnte die Elemente von Z/3Z in die gegebene Gleichung einsetzen?
$\begin{eqnarray*} <br /> \forall g_1,g_2 \in G: f(g_1*g_2) = f(g_1) \cdot f(g_2)<br /> \end{eqnarray*}$
Ich hatte beispielsweise die Null aus Z/3Z für g1/g2 eingesetzt.

07.01.2011, 16:45

Reksilat

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Bei der Null weißt Du doch aber schon, wie sie abgebildet wird, da sie das neutrale Element ist.
Außerdem soll die Gleichung ja für alle Gruppenelemente gelten. Einfach nur zwei einzusetzen reicht da nicht.

07.01.2011, 18:13

Math-ftw

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Hallo,

[quote]außerdem soll die Gleichung ja für alle Gruppenelemente gelten [/quote}

$\begin{eqnarray*} f(0+1) = f(0) + f(1) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1+2) = f(1) + f (2) = 0 \end{eqnarray*}$ usw ....

Ich setze hier alle Elemente nacheinander ein, aber das ergibt iwie keinen Sinn, wie gesagt, dann würden ja alle Gleichungen der Bedingung genügen.
Könntest du mir einen Gruppenhomomorphismus (insgesamt sind es ja drei) vorrechnen bitte (mit kurzer Erläuterung)? Vielleicht versteh ich es ja dann.

Entschuldige meine Begriffsstutzigkeit.

07.01.2011, 18:53

Elvis

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Ein sehr schöner Gruppenhomomorphismus ist $\begin{eqnarray*} exp: ( \mathbb R,+) \to ( \mathbb R_{>0},*) ,x \to e^x \end{eqnarray*}$ , denn es gilt $\begin{eqnarray*} exp(a+b)=e^{a+b}=e^a\cdot e^b=exp(a)*exp(b) \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 19:05

Reksilat

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Du hast noch kein f festgelegt. Damit ist es völlig sinnlos, so was wie f(1)=1 anzunehmen, da das eben nicht gelten muss.

Nein, ich werde nichts vorrechnen. Du gehst ja nicht mal auf meine Beiträge ein. Du stellst ja nicht mal konkrete Fragen.

07.01.2011, 19:28

Math-ftw

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Zitat:

Du hast noch kein f festgelegt. Damit ist es völlig sinnlos, so was wie f(1)=1 anzunehmen, da das eben nicht gelten muss.

Das verstehe ich eben nicht, ich dachte man muss halt einfach nur einsetzen ( alle Elemente der ersten Gruppe). Ich verstehe also nicht wie ich jetzt noch ein f
" festlegen " soll.

Zitat:

Du gehst ja nicht mal auf meine Beiträge ein. Du stellst ja nicht mal konkrete Fragen.

Ich finde schon, dass ich auf deine Beiträge eingehe. Vielleicht habe ich mich auch nur unklar ausgedrückt. Dann tut es mir leid. Wenn ich es nicht verstehe, wie soll ich dann auch konkrete Fragen stellen?

Zitat:

Nein, ich werde nichts vorrechnen.

Naja, dann halt nicht.

Ich danke dennoch für deine Mühe.

07.01.2011, 19:40

Elvis

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Reksilat hat dir schon alles Wesentliche erklärt ... du musst dich entscheiden, was mit dem Urbild 1 passieren soll ... alles andere ergibt sich ... fang einfach mal an ... es gibt die 6 Möglichkeiten
f(1)=0
f(1)=1
f(1)=2
f(1)=3
f(1)=4
f(1)=5

07.01.2011, 20:26

Math-ftw

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} f(1) = f(0 + 1) = f(0) + f(1) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1) = f(2 + 2 ) = f(2) + f (2) = 1 \end{eqnarray*}$

Ist das denn jetzt ein korrekter Anfang? Ich versuche die ganze Zeit die Formel der Definition mit unterzubringen.

Sieht aber für mich aus als würden sich so keine Widersprüche bilden...

:O

08.01.2011, 10:20

Elvis

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Das ist kein Anfang.

Wir suchen Homomorphismen f : (Z/3Z,+) --> (Z/6Z,+)

0.) f(0)=0,f(1)=0 also f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=0+0=0 ist der triviale Homomorphismus .
1.) f(0)=0,f(1)=1 also f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2 , also im(f)={0,1,2} , aber {0,1,2} ist keine Untergruppe von (Z/6Z) , also ist f kein Homomorphismus .

2.) - 5.) musst du jetzt bitte machen.

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