Gruppenhomomorphismus suchen...

06.01.2011, 19:09	Mimamathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus suchen... Meine Frage: Schönen guten Tag, ich suche eine Möglichkeit, einen Gruppenhomomorphismus zu finden. Ich habe zwei Gruppen, die erste ist die Gruppe $\begin{eqnarray} (Z_{8}, +) \end{eqnarray}$ , die zweite Gruppe ist die Gruppe $\begin{eqnarray} (Z_{9}^{},) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Mein Ansatz war bisher, erst einmal das neutrale Element zu suchen. Dies ist bei der ersten Gruppe die 0, bei der zweiten die 1. Nun könnte man ja sagen dass das neutrale Element der ersten Gruppe auf die zweite Gruppe abbildet. also habe ich: $\begin{eqnarray} \phi(0) = 1 \end{eqnarray}$ . Also lautet doch die Abbildungsvorschrift x->x+1 oder liege ich da falsch? Ab hier habe ich keinen Ansatz mehr. Ich habe mit dieser Vorschrift probiert, die Elemente aus der ersten Gruppe auf die zweite Gruppe abzubilden, aber ich scheiter bei $\begin{eqnarray} \phi(2+1) \end{eqnarray}$ . Dies wäre glaube ich dann wie folgt zu rechnen: $\begin{eqnarray} \phi(2+1) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \phi(2)\phi(1) \end{eqnarray}$ Das wäre dann die 4, welche auf die 6 abbildet. Die 6 ist aber in der zweiten Gruppe nicht enthalten... Vielleicht erstmal die größte Frage: Meine Aufgabe ist es doch, eine Abbildungsvorschrift x->? zu finden, sodass $\begin{eqnarray} \phi(a+b) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \phi(a)\phi(b) \end{eqnarray}$ gilt. Da ich nichtmal weiß, ob diese Gruppen einen Homomorphismus besitzen, könnte ich jetzt stundenlang Vorschriften suchen, ist das die Art, wie das ganze funktioniert? Grüße
06.01.2011, 19:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der triviale Homomorphismus existiert immer . Das ist $\begin{eqnarray} \forall x : \phi_0(x)=1 \end{eqnarray}$ . Ansonsten muss nach dem Homomorphiesatz $\begin{eqnarray} ker(\phi)=\{x:\phi(x)=1\}<(Z_8,+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Z_8,+)/ker(\phi)\cong im(\phi) \end{eqnarray}$ sein.
06.01.2011, 19:29	Mimamathe	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo! danke für deine Antwort. Leider ist mir nicht klar, wieso der ,,triviale'' Homomorphismus gilt. Wenn ich sage $\begin{eqnarray} \phi(1+2) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \phi(1)\phi(2) \end{eqnarray}$ , was ist dann phi?... ich glaube wir reden aneinander vorbei achso... durch deinen trivialen Homomorphismus wäre dann die Gleichung 1 = 11 . Sehe ich das so richtig? liebe grüße
06.01.2011, 19:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Homomorphismus ist eine mit den Gruppenstrukturen verträgliche Abbildung. Es gibt viele Abbildungen, es gibt auch viele Homomorphismen. Stimmt. trivial ist 1=1*1
06.01.2011, 19:38	Mimamathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann erstmal vielen Dank dafür! Wenn ich jetzt einen Isomorphismus suchen muss, bzw. wiederlegen muss, dass es da keinen Isomorphismus gibt, wie kann ich da vorgehen? Könntest du mir da nen Weg verraten?
07.01.2011, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Isomorphismus ist bijektiv, die Gruppen sind also gleichmächtig. Wegen 8>6 ist (Z8,+) nicht isomorph zu (Z9,*). Weitere Hinweise gibt der Homomorphiesatz.
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