wie kann ich eine Funktion bestimmen, wenn der Mittelwert und das Intervall gegeben ist? |
| 06.01.2011, 20:50 | ain'tgotit | Auf diesen Beitrag antworten » |
| wie kann ich eine Funktion bestimmen, wenn der Mittelwert und das Intervall gegeben ist? hey, ich bin in meinem Schulbuch auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich einfach nicht weiter komme. ich hoffe einer vone uch kann mir dabei helfen! hier also die Aufgabe: "geben sie drei Funktionen an, deren Mittelwert der Funktionswerte auf [-2;2] genau 1 ist." hört sich nicht schwer an und ich habe es mit auflösen versucht, aber iwann komme ich einfach nicht mehr weiter... Meine Ideen: die Formel für den Mittelwert ist ja : m= 1/(b-a)* \int_a^b \! f(x) \, dx und wnen ich das jetzt umstelle wäre es ja: 1= (1/4)* F(2)-F(-2) 4= F(2)-F(-2) und hier komme ich nicht mehr weiter, benötge dringend eure Hilfe!! |
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| 06.01.2011, 22:41 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja. Du kannst alle möglichen Funktionen nehmen. Wenn du es dir einfach machen willst, nimm 3 konstante Funktionen wobei 2 davon Abschnittsweise definiert sind. Du kannst auch Polynome nehmen... Die Parameter bestimmst du dann durch´s gleichsetzen (oder vielleicht sieht du es auch direkt). |
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| 07.01.2011, 00:24 | ain'tgotit | Auf diesen Beitrag antworten » |
das versteh ich nicht ganz, mach mal ein Beispiel bitte. geht das dann nciht mit auflösen?? |
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| 07.01.2011, 00:48 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok, ich zeig dir mal eine triviale Möglichkeit: Nun: (wobei dies von Anfang an klar war 
)Diese Schritte kannst du natürlich auch mit anderen Funktionen durchgehen bei denen die Lösung vielleicht nicht so offensichtlich ist. |
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| 07.01.2011, 13:50 | ain'tgotit | Auf diesen Beitrag antworten » |
okay ich glaube ich verstehs! die 2. Funktion würde sich dann so lösen lassen: f(x)= x^2 --> F(x) = 1/3 x^3 1= 1/4 (1/3 d 2^3 - 1/3 d (-2)^3) 1= 1/4 * 16/3 d d= 3/4 gesuchte Funktion: f(x)= 3/4 x^2 der Mittelwert wäre dann auch wieder 1 für die 3. Funktion könnte ich dann f(x)= x^3 annehmen aber theoretisch gibt es ja dann tausende von möglichkeiten und ich soll einfach nur 3 auswählen. verstehe ich das jetzt richtig? |
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| 07.01.2011, 14:02 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, du hast das nicht ganz sauber aufgeschrieben, aber auf den ersten Blick scheint das zu passen (hab nicht genau nachgerechnet). Und klar, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, eine solche Funktion zu konstruieren (dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, lässt sich sogar relativ einfach beweisen). Wobei du das nicht falsch verstehen darfst: Nicht jede Funktion erfüllt diese Bedingung: bietet zum Beispiel kein für das der Mittelwert von im Intervall ungleich 0 ist. Allerdings kannst du diese Funktion dahingehend manipulieren: |
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| 07.01.2011, 15:05 | ain'tgotit | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja ich weiß, habs nicht so drauf mit den zeichen okay, und woher weiß ich dann dass f(x)= ax^3 keinen Mittelwert von 1 hat? |
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| 07.01.2011, 19:27 | chili12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jeder punktsymmetrische (zum Ursprung) Funktion hat auf dem Intervall von [-a,a] den Mittelwert Null weil ja gilt f(x)=-f(-x) -> f(x)-f(-x)=0 Ausserdem gilt f(0)=0. Rezept: Man nehme eine punktsymmetrische Funktion und addiere 1 schon hast du eine Funktion die auf einem beliebigen Intervall der form [-a,a] einen Mittelwert von 1 aufweist. mfg |
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| 08.01.2011, 14:00 | ain'tgotit | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke ihr 2, habt mir sehr geholfen 
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| 22.02.2011, 16:39 | chili12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| mathe kannst du mir deine rechenwege genauer hinschreiben ich kann dir nicht folgen. wäre voll cool. lg lisa |
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