Körper

21.11.2006, 23:46

ErRoRr-FuNCtiOn

Körper

Zeige dass $\begin{eqnarray*} Q(i) := \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} a+ib | a \in Q , b \in Q \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \subseteq C \end{eqnarray*}$
mit der Addition und der Multiplikation komplexer Zahlen ein Körper ist.

(Vergesse nicht zu ziegen dass so die innere Verknüpfungen auf $\begin{eqnarray*} Q(i) \end{eqnarray*}$ gegeben sind.)

21.11.2006, 23:53

Mazze

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Wie wäre es mal mit eigenen Ideen? Was ist zu zeigen? Was hast Du? Schreib das erstmal hin.

22.11.2006, 00:09

ErRoRr-FuNCtiOn

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1. Additive Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} a + (b + c) = (a + b) + c \end{eqnarray*}$ (Assoziativität)
$\begin{eqnarray*} a + b = b + a \end{eqnarray*}$ (Kommutativität)
Es gibt ein Element $\begin{eqnarray*} 0\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 + a = a \end{eqnarray*}$ (neutrales Element)
Zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in K \end{eqnarray*}$ existiert das additive Inverse $\begin{eqnarray*} &#8722; a mit a + ( &#8722; a) = 0 \end{eqnarray*}$
2. Multiplikative Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c \end{eqnarray*}$ (Assoziativität)
$\begin{eqnarray*} a\cdot b = b\cdot a \end{eqnarray*}$ (Kommutativität)
Es gibt ein Element $\begin{eqnarray*} 1\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\cdot a=a \end{eqnarray*}$ (neutrales Element), und es ist $\begin{eqnarray*} 1\ne0 \end{eqnarray*}$ .
Zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in K\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ existiert das multiplikative Inverse $\begin{eqnarray*} x &#8722; 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\cdot x^{-1}=1 \end{eqnarray*}$
3. Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
$\begin{eqnarray*} a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c \end{eqnarray*}$ (Links-Distributivität)

Das Rechts-Distributivgesetz $\begin{eqnarray*} (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c \end{eqnarray*}$ folgt dann aus den übrigen Eigenschaften.

Das alles muss doch bewiesen werden oder?

22.11.2006, 00:19

Mazze

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Zitat:

Das alles muss doch bewiesen werden oder?

Ganz genau, dann fang doch mal an!

22.11.2006, 16:59

ErRoRr-FuNCtiOn

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Ich wollte jetzt mit der Assoziativität anfangen:
Also $\begin{eqnarray*} a+(b+c) = (a+b)+c \end{eqnarray*}$
Ich kriegs aber nicht hin! ICh weiß nicht was ich für a,b,c setzten soll/muss.
Kann mir da schnell jemand weiterhelfen?

22.11.2006, 17:45

Mazze

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Für a,b,c musst Du allgemeine komplexe Zahlen einsetzen und dann die Definition der Multiplikation benutzen.

22.11.2006, 18:21

ErRoRr-FuNCtiOn

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d.h z.b. für $\begin{eqnarray*} a= (a-ib) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b= (c-id) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c=(e-if) \end{eqnarray*}$

einsetzen und zeigen?

22.11.2006, 18:34

Mazze

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Wie wäre es wenn Du das auch mal machst und nicht bei jedem einzelnen Schritt nachfragst. Du weißt wie eine komplexe Zahl allgemein aussieht. Das hast Du grade demonstriert. Dann rechne nun auch einmal durch!

22.11.2006, 19:38

ErRoRr-FuNCtiOn

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Also, ich hab jetzt angefangen durchzurechnen, den additiven teil habe ich bereits fertig (schreib ihn nachher mal rein zu kontrolle) beim multi. teil hab ich ein problem entdeckt! ich weiß nicht ob das so richtig ist, wäre super wenn sich das mal jemand anschauen könnte!

Zu zeigen: Assoziativität:

$\begin{eqnarray*} a= (a+ib) ; b=(c+id) ; c=(e+if) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a*(b*c) = (a*b)*c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a*(b*c))= (a+ib)*((c+id)*(e+if))=(a+ib)*(ce-df)+(cf+de)*i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(ace-bdf)+(acf+bde)*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a*b)*c = ((a+ib)*(c+id))*(e+if) = ((ac-bd)+(ad+bc)*i)*(e+if) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(ace-bdf)+(ade+bcf)*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht assoziativ!

Ist das richtig?

22.11.2006, 20:02

tar

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Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Also, ich hab jetzt angefangen durchzurechnen, den additiven teil habe ich bereits fertig (schreib ihn nachher mal rein zu kontrolle) beim multi. teil hab ich ein problem entdeckt! ich weiß nicht ob das so richtig ist, wäre super wenn sich das mal jemand anschauen könnte!

Zu zeigen: Assoziativität:

$\begin{eqnarray*} a= (a+ib) ; b=(c+id) ; c=(e+if) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a*(b*c) = (a*b)*c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a*(b*c))= (a+ib)*((c+id)*(e+if))=(a+ib)*(ce-df)+(cf+de)*i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(ace-bdf)+(acf+bde)*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a*b)*c = ((a+ib)*(c+id))*(e+if) = ((ac-bd)+(ad+bc)*i)*(e+if) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(ace-bdf)+(ade+bcf)*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht assoziativ!

Ist das richtig?

ich hoffe ich darf das jetzt machen ! ^^

$\begin{eqnarray*} a= (a+ib) ; b=(c+id) ; c=(e+if) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a*(b*c) = (a*b)*c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a*(b*c))= (a+ib)*((c+id)*(e+if))=(a+ib)*((ce-df)+(cf+de)*i) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(ace-adf)-(bcf+bde)+i*((acf+ade)+(bce-bdf)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =ace-adf-bcf-bde+i*((acf+ade)+(bce-bdf)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a*b)*c = ((a+ib)*(c+id))*(e+if) = ((ac-bd)+(ad+bc)*i)*(e+if) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(ace-bde)-(adf+bcf)+i*((acf-bdf)+(ade+bce)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =ace-adf-bcf-bde+i*((acf+ade)+(bce-bdf)) \end{eqnarray*}$

daraus folgt : assoziativ ... ^^ falls das zuviel verrät kanns n mod löschen smile

22.11.2006, 21:50

ErRoRr-FuNCtiOn

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Beim Inversen hab ich auch noch ein Problem gehabt bzw.weiß nicht ob das so stimmt:

$\begin{eqnarray*} (a+ib)^-1*(a*ib)=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{a+ib}*(a+ib)=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{1} {a}*a - \frac{1} {b}*b)+(\frac{1} {a}*b+\frac{1} {b}*a)*i =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{a} {a} - \frac{b} {b}) + (\frac{b} {a} + {a} {b})=*i = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ kein Inverses

ISt das richtig oder hab ich was falsch gemacht?

22.11.2006, 22:12

ErRoRr-FuNCtiOn

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Und für das neutrale Element hab ich :

$\begin{eqnarray*} [1]*a = a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [1]*(a+ib) = a+ib \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ([1]a +[1]ib) =(a+ib) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ neutrales Element!

...ich bin mir aber nicht sicher ob das stimmt!

23.11.2006, 12:21

tar

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das mit dem inversen ist falsch es gibt ein inverses element...
$\begin{eqnarray*} (a+ib)^{-1} \end{eqnarray*}$ erweiter das mal mit $\begin{eqnarray*} (a-ib) \end{eqnarray*}$ ... und mach deine Rechnung nochmal smile

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